Fibonačijevi magični brojevi


10

Leonardo Bigollo (Leonardo Pisano ili de Piza; Leonardo Pizanski, Leonardo od Pize) bio je matematičar koji je živeo u Italiji na prelazu između 12. i 13. stoleća (1170-1240), ličnost koja je prva okrenula leđa sistemu rimskih brojeva koji su u njegovo vreme prevladavali. Leonardo je u istoriji bio poznat po nadimku Fibonacci, što je derivat dve reči (fillius + bonnacci, što na latinskom i italijanskom u miksu dobija značenje “sin dobronamernog”. Očigledno da je Leonardov otac Guljelmo (Guglielmo) bio poznat kao dobra osoba i znameniti trgovac koji je često putovao po Severnoj Africi. Tamo je, tokom svojih putovanja s ocem, njegov sin Leonardo i otkrio magiju arapskih brojeva i matematike.

24Hindu-arapski sistem brojanja prešao je iz Indije u Persiju a potom na Bliski Istok i u Severnu Afriku, odakle je „doskočio“ i na evropsko tle, pre svega zahvaljujući između ostalih i Fibonačiju. Pizanova ideja korišćenja arapskih brojeva sadržavala je mogućnost rada sa celim brojevima ili razlomcima, deljenje brojeva na proste činioce, kvadratni koren, itd. Uprkos brojnim prednostima i velikoj praktičnosti, usvojiti ovaj sistem nije bilo lako. Krstaški ratovi protiv islama koji su se u to vreme odigravali stavljali su pod sumnju što je bilo označeno kao “arapsko”. Arapski brojevi su 1299. u Firenci čak bili i zabranjeni, uz obrazloženje da ih je „lakše falsifikovati nego rimske brojeve”.

Zahvaljujući očevom poslu, Leonardu Fibonačiju je pružena prilika da se susreće s velikim matematičarima koji su se nalazili izvan tzv. „istočnog kruga“ (Egipat, Sirija, Alžir, Grčka, itd), i s kojima je njegov otac svakodnevno dolazio u kontakt tokom dugih putovanja kroz arapske zemlje i Mediteran. Kasnije se vratio u Italiju, a kada mu je bilo 32 godine objavio je knjigu Liber Abaci (1202), u kojoj je objasnio značaj arapskog sistema numerisanja i njihovu primenu na najrazličitije svakodnevne situacije tokom trgovine i trgovačkog računanja. Ovim je, zapravo, želeo da dokaže da bi Evropljanima bilo nepojamno praktičnije ukoliko bi počeli da se koriste arapskim a ne rimskim numeričkim sistemom: Arapski sistem bio je nenadmašan u radu sa stranim valutama, vođenju trgovačkih knjiga (tj današnjem računovodstvu), pri merenju i pretvaranju težinskih mera, itd. Četvrt veka kasnije (1227), objavio je drugo izdanje iste knjige koja je danas postala referentna verzija “Liber abaćija” jer ručno pisane kopije prvog izdanja iz 1202. ne postoje (naslov znači “Knjiga računanja”, mada je neki pogrešno prevode kao “Knjiga abakusa”; “abaci” ili “abacci” je talijanska reč za arapsku računaljku koja je u to vreme bila pojam za računske operacije. Danas postoji samo II izdanje iz 1227. dok su primerci prvog izdanja u celosti izgubljeni).

22

Federiko Drugi Hohenštaufenski (Federico II de Hohenstaufen, 1194-1250) bio je Sveti rimski car u trenutku kada je doznao za Fibonačijev rad, sve to zahvaljujući korespondenciji koju je po svom povratku u Italiju ovaj matematičar održavao s nekim od članova carevog Suda. Među njima je bio i Majkl Skot (Michael Scotus), astrolog kojem se Pizano divio i kome je posvetio drugo izdanje svoje i danas poznate knjige. Johan Palermski (Johnanes of Palermo) je pred tim Sudom postavio Fibonačiju jedan matematički problem koji će mu zauvek urezati mesto u istoriji.

Čovek stavi dva zeca u prostor okružen zidom sa svih strana. Koliko je parova zečeva moguće proizvesti iz ovog para za godinu dana, ako svakog meseca svaki par novih zečeva na svet donese još jedan par, koji se može reprodukovati svakog drugog meseca?

Fibonači je prihvatio izazov; rešio je taj problem, a rešenje objavio u radu pod nazivom “Flos” (1225). Tom prilikom razvio je numerički niz koji će u istoriji biti usvojen kao Fibonačijev niz. Ovaj niz brojeva počinje sa 0 i 1, a odatle je svaki element – ili Fibonačijev broj – zbir prethodna dva.

30

Fibonačijev niz predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule, a prva dva člana su mu 0 i 1.

To jest, nakon dve početne vrednosti, svaki sledeći broj je zbir dvaju prethodnih. Prvi Fibonačijevi brojevi takođe su označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , pa su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

01Fibonačijevi brojevi, a u stvari celokupan matematički princip – u zapadnoj matematici predstavljeni kao konstanta fi (∅), i to po čuvenom vajaru Fidiji koji se u izgradnji grčkog Panteona i skulptura ovog hrama koje su se u koristio proporcijom 1 : 1.6. Dakle, konstanta „fi“ nije dobila svoj naziv po Fibonačiju. Uz to, treba reći i da je dokazano kako je ova konstanta bila daleko ranije opisana, i to u Indiji.

I tako je Leonardo uspešno predstavio reproduktivni ciklus kod zečeva, iako je to veštački model u slučaju ovih životinja (a biološki gledano, to i nije sasvim tačno), savršeno se po tome uklapajući sa reproduktivnim modelom pčela. U košnici, samo je kraljica ta koja ima moć reprodukcije: Ona je jedina koja polaže jaja.31

Ako su oplođene, rađaju se ženke, sa 50% genetskog materijala kojeg pruža majka („Kraljica“), i sa drugih 50% koji potiču s očeve strane. Trutovi ili muške pčele nastaju od neoplođenih jaja. Zbog toga,ženske pčele radilice imaju dva roditelja, dok trutovi imati jednog: 100% njihove genetske informacije obezbeđuje majka.

001Pčele nisu jedini izuzetak, a ovi brojevi, kao matematički princip, stoje iza mnogovrsnih fenomena prirode: Fibonačijev niz nalazi se u rasporedu cvetnih latica, u nastanku uragana itd.

Fibonačijev niz se često nazivaju i “Božanskom razmerom”. Uzmemo li jedan deo Fibonačijevog niza (2, 3, 5, 8), i podelimo li svaki sledeći broj s njemu prethodnim, dobićemo uvek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približavaju broju fi.

Sledi nekoliko primera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

U pčelinjoj zajednici, košnici, uvek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvek bi dobili broj fi.

14

Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bismo izračunali odnos svakog spiralnog segmenta i njegovih razmera u odnosu prema narednom segmentu, dobili bismo broj fi.

Seme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promera rotacije je broj fi.

Izmerimo li čovečju dužinu od vrha glave do poda, a zatim to podelimo s dužinom od pupka do poda – dobijamo broj fi.

Kako je to moguće? Jesu li ovi slučajevi plod „abrakadabra“ kombinacije u matematici? Misterija koja leži iza ovog niza brojeva kojem je, izgleda, predodređeno da bude upisan u matematičke osnove svega što nas okružuje (ili barem u mnogim stvarima koje postoje oko nas) uvek nanovo fasciniraju stručnjake iz raznih oblasti nauke, a tu su čak i publikacije specijalizovane za pronalaženje novih oblasti i problema povezanih sa ovim nizom i konstantom fi.

Čak i nekoliko vekova kasnije, Johan Kepler (1571-1630) je bio trajno fasciniran istraživanjima ovog niza da bi, stolećima kasnije, razvio koncept koji je u istoriju matematike ušao kao “Božanska konstanta”, zapisana u njegovoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” (1611).

23Ali koliko “magije” ima u čuvenom Fibonačijevom nizu? U kom trenutku je Pizanac ovaj princip opisao kao svoju „ekskluzivu“, kao i proporcije među brojevima koje ih dovode u međusobni odnos? Istorija je ostavila tragove o prethodnim referencama koje se odnose na njegovu kasniju formulu, kao što je slučaj s nekolikim indijskim matematičarima: Gopalom (1135) i Hemačandrom (1150), koji su ovaj „Božanski odnos“ već pominjali u svojim spisima – i to nekoliko decenija pre nego što je Fibonači bio rođen.

Kepler je otkrio ovaj redosled koristeći se odnosom koji već postoji među postojećim uzastopnim članovima niza. Dva je prema broju 3 je ono što je 3 za 5, a petica za osmicu, i tako dalje sa svim elementima. Prema tome, postoji udeo-odnos-proporcija (Božanska konstanta: proporcija koja je zdušno korišćena u renesansnoj umetnosti kao „Zlatni presek“); ovaj niz se stalno održava tokom deljenja brojeva: bitno je da je proporcija izražena konstantom „fi“ ista u svakom slučaju, bez obzira da li je zdanje građeno po principima Zlatnog preseka gigantska ili je minijaturnih razmera. Ova proporcija je predstavljena brojem fi (u čast grčkog vajara Fidije, da ponovimo – a ne Fibonačija!):  φ = 1.618.

16Zlatni presek se javlja kao proporcija rastućih oblika u prirodi i vekovima je privlačio pažnju matematičara i umetnika. Odnos Zlatnog preseka se dobija ako se jedna duž podeli na takav način da je odnos većeg dela prema celom isti kao i odnos manjeg dela prema većem: 0.6180339887…

Neprekidnu podelu zlatnog preseka zapažamo u samoj prirodi na mnoštvu biljaka, koliko u opštem sklopu toliko i u njihovim delovima, cvetovima, listovima (npr ljutić, rastavić, itd) a u zapanjujućem savršenstvu u ljušturama morskih puževa kao što je npr Nautilus). Zlatni presek se jasno manifestuje u sklopu ljudskog tela. Proporcionisanje čovečje figure sastoji se u što tačnijoj konstrukciji Zlatnog preseka u neprekidnom odmeravanju minora na majoru, kao i u primeni ovako dobijenih mera na odgovarajuće delove i dimenzije tela.

Danas je opšte prihvaćeno mišljenje da je grčki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepšu proporciju za najprikladnije oblike arhitekture. Proporcija Zlatnog preseka je traženi zakon lepote koji se nalazi u skladnosti i srazmernosti između pojedinih delova kao i delova u celini. Kroz istoriju je pravougaonik čiji je odnos među susednim stranicama u odnosu Φ=1.618033988749895… smatran najprijatnijim za oči. Grčki vajar Fidija izgradio je Partenon i mnoge figure na njemu u proporciji Zlatnog preseka.

Zlatni presek primenjen je na najlepšim grčkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima.

21Platon je pisao “da se dve stvari na lep način sjedine bez nečeg trećeg. Između njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se može najbolje izvršiti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja onaj srednji odnosi prema najmanjem kao najveći prema srednjem i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najvećem, onda će poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nužno isto, a budući da je isto čini jedno jedino.”

Opis pristaje, kao što se uočava, pojmu zlatnog preseka. Zlatni presek, kao proporcijski ili sistem srazmera, korišćen je u praksi i na istoku i na zapadu, nekada tačno a ponekad s izvesnim odstupanjem. Keopsova piramida, gotske katedrale i mnoge druge poznate građevine sadrže u sebi proporciju Zlatnog preseka.

I ovde se priča o Fibonačiju završava – da bi se opet, u beskrajnom nizu, potvrđivala i trajala kao Zakon Prirode.

28U svojoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” („O šestougaonoj pahulji“, 1611.) Kepler je definisao značaj ove proporcije i niza koji se, prema njegovim rečima, na sličan način razvija u reproduktivnom procesu i koji se može uspešno održavati. Ideja Keplera o biološkom auto-replikativnom (tj. samoobnavljajućem, ili samooplođujućem) procesu koji se odvija po Fibonačijevom nizu je do ne tako davno ignorisan od strane biologa, kada je raspored listova filotaksisa (Phyllotaxis) na stablu i naučno učvrstio ovu teoriju. .

Međutim, kako god da je došlo do ovog naučnog uvida, njegovo otkriće numeričkog niza – kojim je uzdigao ideju o Božanskim proporcijama – bila je više nego dovoljna za Fibonačijevu besmrtnost u „reci vremena“, baš kao i u sećanju njegovih kolega matematičara. U Pizi je u 19. veku podignuta statua u njegovu čast, a može se danas posetiti na Gradskom groblju, na Trgu čuda (Piazza dei Miracoli). Ne postoji mnogo informacija o poznom dobu njegovog života, iako je dekretom Pizanske republike 1240. Leonardu odobrena doživotna plata, u znak priznanja stečenog na funkciji gradskog savetnika za računovodstvo i finansije.

BBVA OpenMind

 

Čarolija brojeva: lepota skrivena u matematici


00

Koncept lepote u nauci i matematičkim formulama pojava je koju su zapazili još prvi matematičari. Lepotu i nauku, recimo, jako lepo ilustruje metod pomoću kojeg  matematičari rešavaju kvantnu teoriju ili opisuju gravitaciju. Od formule E = mc² do teorije struna, matematička lepota je hiljadama godina inspirisala fizičare da sastave neke od najzanimljivijih opisa stvarnosti. “Lepota je baklja koju držite u uverenju da će vas napokon dovesti do istine”, kaže ser Majkl Atijah (Michael Atiyah).

Francuski fizičar Pol Dirak

Francuski fizičar Pol Dirak

Pol Dirak (Paul Dirac) je imao oko za lepotu. U jednom eseju iz maja 1963. ovaj britanski nobelovac je devet puta pomenuo lepotu. To je učinio u četiri maha, i to u četiri uzastopne rečenice, dakle „s predumišljajem“. U tom članku, Dirak je predstavio način na koji fizičari vide prirodu. Rečju „lepota“, međutim, nikada nije definisan jedan zalazak sunca, niti jedan cvet, ili priroda u bilo kom tradicionalnom smislu. Dirak je govorio o kvantnoj teoriji i gravitaciji. Lepota leži u matematici.

001Šta to u matematici znači „biti lep“? Ne radi se o izgledu simbola na stranici. To je, u najboljem slučaju, od sekundarne važnosti. Matematika postaje lepa snagom i elegancijom svojih argumenata i formulama; kroz mostove koje gradi između prethodno nepovezanih svetova. Onda kada iznenađuje. Za one koji uče jezik, matematika ima isti kapacitet za lepotu kao umetnosti, muzika, nebo ispunjeno zvezdama u najtamnijoj noći.

“Lagani razvoj Mocartovog koncerta za klarinet je zaista divno muzičko delo, ali ne bismo zbog toga otštampali stranicu s notama i stavili je na zid. Ne radi se o tome da delo nije lepo: Radi se o muzici i idejama, kao i o emocionalnoj reakciji”, kaže Viki Nil (Vicky Neale), matematičarka sa Univerziteta u Oksfordu. “Ista je stvar i s jednim matematičkim delom. Nije u pitanju kako ono vizuelno izgleda, već je u osnovi svega estetika misaonih procesa.”

Skeniranje mozga matematičara pokazuje da njihovo posmatranje formula koje smatraju lepima izaziva u njima aktivnost u istoj emocionalnoj regiji mozga kao i kada se uživa u nekom velikom umetničkom ili muzičkom delu. Što je formula lepša, to je veća aktivnost u medijalnom orbito-frontalnom korteksu. “Što se tiče reakcije našeg mozga, matematika za njega ima istu lepotu kao i umetnosti. Postoji zajednička neurofiziološka osnova”, kaže ser Majkl Atijah (Michael Atiyah), počasni profesor matematike univerziteta u Edinburgu.

01

Pitajte matematičare o najlepšoj jednačini: veoma često bi vam kao iz topa mnogi od njih dali isti odgovor: nju je u 18. veku napisao švajcarski matematičar Leonard Ojler (Leonhard Euler). Ona je kratka i jednostavna: eiπ+1=0. Ona je po mnogim matematičarima savršen uzor urednosti i kompaktnosti, a to je čak i za oko laika koji se ne razume u brojeve i matematičke nauke. Njena lepota, međutim, dolazi iz dubljeg razumevanja postavljenih odnosa: ovde je pet najvažnijih matematičkih konstanti zajedno uvezano u jednu. Ojlerova formula spaja svet kružnica, imaginarne brojeve i eksponencijale.

Lepota zapretena u drugim formulama može biti i očiglednija. Svojom epohalnom formulom E=mc2, Albert Ajnštajn izgradio je most između energije i mase, dva koncepta koja su ranije bila Odvojeni Svetovi. Kosmolog Megi Ejdrin-Pokok (Maggie Aderin-Pocock), ju je prozvala ’najlepšom’. “Zašto je tako lepa? Jer je u pitanju sasvim životna stvar. Od ove formule pa ubuduće,  energija će imati masu, a masa se može pretvoriti u energiju. Ova četiri simbola karakterišu čitav Svet i Svemir. Teško je zamisliti kraću formulu koja poseduje više snage”, kaže Robbert Dijkgraaf, direktor Instituta za napredne studije u Prinstonu, gde je, uzgred, i Ajnštajn takođe predavao, i to među prvima u svojoj oblasti.022

Ajnštajn je bio, takođe, možda i najveći pobornik lepote i estetike matematičkih i fizičkih formula. Večito u sukobu s „kvantašima“, tj pobornicima kvantne fizike, jedan od njegovih argumenata kojeg je neprekidno ponavljao je i taj da „formule kvantnih fizičara nisu lepe“. A to je već po sebi, po njegovom ubeđenju, bio indikator njihove netačnosti (ispostavilo se da nije bio u pravu).

Jedan od razloga za postojanje gotovo objektivne lepote u matematici jeste i to što koristimo reč „lepo“ kako bismo takođe ukazali na njenu sirovu snagu u ideju. Jednačine ili rezultate proizašle iz matematike koji se smatraju lepim, skoro su kao napisane pesme. Snaga svake varijable (tj. promenljive) nešto je što je deo iskustva. Ukoliko se osvrnemo na matematiku ili, recimo, na prirodu, one se po pravilu opisuju sa samo nekoliko simbola – a upravo im to daje grandiozni osećaj elegancije i lepote”, dodaje Dijkgraaf. “Drugi element je osećaj da njena lepota odražava stvarnost. Ona je odraz osećaja za red i uređenost koji su deo zakona prirode. “

017Moć jedne jednačine da poveže domene matematike koji nam izgledaju potpuno neuklopivo i nepovezano je prilično česta pojava. Profesor Markus Du Sotoj (Marcus Du Sautoy) koji na Univerzitetu Oksford predaje matematiku gaji veliki sentiment za Rimanovu formulu koja mu je „slaba tačka“. Bernhard Riman (Bernhard Riemann) je 1859. (iste godine kada je Čarls Darvin zapanjio svet svojom knjigom „O poreklu vrsta“, u kojoj je izložio svoju teoriju evolucije), objavio formulu koja otkriva koliko prostih brojeva (tzv. prim-brojeva ili primova) postoji unutar skupa prirodnih brojeva, gde su primovi celi brojevi deljivi samo sa samim sobom i jedinicom (kao što su 2 , 3, 5, 7 i 11). Dok jedna strana jednačine opisuje proste brojeve, druga je kontrolisana nulom (tj. nulama).004“Ova formula pretvara ove nedeljive proste brojeve, u nešto sasvim drugo”, kaže Du Sotoj. “S jedne strane, imate te nedeljive proste brojeve i onda te Riman vodi na taj svoj put koji vas odvodi negde potpuno neočekivano, do onih stvari koje danas zovemo Rimanovim nulama. Svaka od ovih nula dovodi do zapisa – i to je, onda, kombinacija svih ovih zapisa zajedno, koja nam kazuje kako su prosti sa druge strane raspoređeni po svim brojevima “.

015Pre više od 2.000 godina, drevni grčki matematičar Euklid rešio je numeričku zagonetku na tako divan način da i danas izmamljuje osmeh divljenja – recimo matematičarki Viki Nil, i to svaki put kad joj ova Euklidova padne na pamet. “Kada mislim o lepoti u matematici, moje prve misli nisu vezane za jednačine. Za mene je to mnogo više od prostog argumenta; to je način razmišljanja, specifičan, jedinstveni način na koji se neki dokaz izvodi”, dodaje ona.

Euklid je dokazao da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Kako je to postigao? Počeo je tako što je zamišljao univerzum u kojem količina prostih brojeva nije beskonačna (kada bi, dakle, postojala dovoljno velika tabla, oni bi svi mogli da se popišu kredom).

On se, potom, upitao šta bi se desilo kada bi se svi ovi prosti brojevi zajedno pomnožili: 2x3x5, i tako dalje, sve do kraja liste, a rezultat bi pridodao na broj 1. Ovaj ogroman novi broj nam daje odgovor. Ili je on već sam po sebi prost broj – pa bi tako i inicijalna lista prostih brojeva bila nepotpuna – ili je deljiv sa manjim prostim brojem. Ali, ukoliko Euklidov broj podelimo bilo kojim primom koji je zabeležen na ogromnoj-a-konačnoj-tabli, uvek bi preostala jedinica. Ovaj broj nije deljiv s bilo kojim primom s liste. “Ispostavilo se da u ovoj kalulaciji stvar doterujete do apsurda, kontradikcije”, kaže Nilova. Dakle, početna pretpostavka – da je količina prostih brojeva konačna – mora biti pogrešna.

“Ovaj je dokaz za mene stvarno predivan.Potrebno je samo malko više porazmisliti kako biste se udubili u suštinu, ali, zapravo, ne podrazumeva niti iziskuje godine proučavanja nekih teških matematičkih koncepata. Iznenađujuće je da možeš da dokažeš nešto tako teško na ovako elegantan način”, dodaje Nilova.

008

Evo tog briljantnog Euklidovog rezonovanja samo na blago „zafelširan“ način:

Uzmimo, na primer, da smo se uzjogunili i tvrdimo da su 3 i 5 “jedini prosti brojevi”. OK, kaže Euklid, pomnožimo onda 3 i 5 i rezultatu dodajmo jedinicu, tj., 3×5+1=16.  Ha, broj 16 nije deljiv sa 3 ili 5, ali je deljiv sa 2, a 2 nije deljiv nijednim drugim brojem osim samim sobom, dakle prost je. Sada moramo popustiti i priznati da naš novi skup prostih brojeva mora da sadrži i dvojku, tj. prosti brojevi su sada 2, 3 i 5.

Odlično, pomnožimo sada sve te proste brojeve i dodajmo rezultatu jedinicu, tj., 2x3x5+1=31. Aha, 31 je broj koji je deljiv jedino samim sobom, prema tome prost je. Naš skup “jedinih prostih brojeva” mora da uključi i broj 31, tj. on sada sadrži brojeve 2, 3, 5 i 31. Ovakvim postupkom možemo od bilo kog konačnog skupa prostih brojeva generisati nove i nove proste brojeve i to tako da je, množenjem “svih prostih brojeva” i dodavanjem jedinice, dobijen ili novi prost broj (kao što je broj 31 u gornjem primeru) ili složen broj koji je deljiv nekim prostim brojem koji se ne nalazi u našem polaznom skupu (kao što je bio slučaj sa brojem 2 u gornjem primeru). I tako do beskonačnosti. Dakle, prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Koliko god daleko išli po brojnoj osi, uveć ćemo naići na neki prost broj. Phew.

19Da pogledamo ponovo našu listu prostih brojeva manjih od sto: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97… Primetimo odmah da prostih brojeva manjih od 100 ima manje nego prirodnih brojeva  manjih od 100,  te da se “razređuju” na neki način:  recimo, u dekadi od 10 do 20 ima ih četiri (11, 13, 17, 19), dok ih u dekadi od 20 do 30 ima samo dva (23 i 29), itd. Bez obzira što su prosti brojevi “ređi” od prirodnih brojeva – ili od parnih brojeva, svejedno – njih ipak ima podjednako “beskonačno mnogo” koliko i prirodnih brojeva.

Ipak, postoji beskonačno i postoji beskonačno. Na primer stepena broja 2 ima takođe beskonačno mnogo na brojnoj osi, ali između brojeva 1 i 1000 njih ima tačno deset: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Prostih brojeva u istom intervalu ima 72 komada.

U teoriji brojeva, i u matematici uopšte, prosti brojevi su izuzetno značajni zbog sledeće ognjene teoreme: Svaki prirodan broj može da se na jedinstven način napiše kao proizvod prostih brojeva. Fundamentalna stvar. Imam bilo koji broj i on može da se jednoznačno razloži na proizvod svojih faktora. Na primer, 15=3×5, ili 60=2x2x3x5, itd.

08

Iza estetski izuzetno prijatnih tj lepih procesa nalazi se izuzetno lepa matematika. Pa, barem ponekad, ako ništa drugo. Hana Fraj (Hannah Fry), predavačica egzotičnog predmeta pod nazivom „matematika gradova“ na UCL godinama je kvarila vid zureći u Navje-Stouksove jednačine (Navier-Stokes). “One su jedna posebna matematička rečenica koja je u stanju da opiše čudesno lepo i raznoliko ponašanje gotovo svih tečnosti na planeti Zemlji”, kaže ona. Shvatanjem ove formule, možemo potom razumeti ponašanje svih fluida, svih elemenata u tečnom agregatnom stanju: protok krvi u telu, kako brodovi klize kroz vodu, ili kako da napravimo sjajne čokoladne prelive.

17U svom eseju iz 1963. godine, Dirak je uzdigao lepotu sa estetskog nivoa na nešto daleko više (ili, možda, dublje): na put ka Istini. “Daleko je važnije imati lepotu u jednoj jednačini nego je primeniti u eksperimentu”, napisao je on, nastavljajući: “Čini se da, ako se deluje i razmišlja sa stanovišta kreiranja lepote u jednačinama, i ukoliko se sluša sopstveni unutarnji glas, onda tu sigurno postoji linija napretka.” Na prvi pogled šokantna izjava, Dirak je njom definisao ono što je danas postalo uobičajeno matematičko razmišljanje: kada neka lepa jednačina izgleda u suprotnosti sa prirodom, krivica leži ne na matematici već na njenoj primeni na pogrešni aspekt prirode.

“Istina i lepota su usko povezani, ali nisu isto”, kaže Atijah. “Nikada niste sigurni da li imate istinu „u rukavu“. Sve što možemo da učinimo je da neprekidno težimo ka sve boljim i savršenijim istinama, a svetlost koja vas na tom putu vodi je – lepota. Lepota je baklja koju držite pred sobom i pratite stazu koju ona osvetljava, u uverenju da će vas napokon dovesti do istine.”

Nešto što je blisko veri u matematičkoj lepoti je fizičare konačno dovelo do osmišljavanja dva najzanimljivija opisa stvarnosti: prvi je supersimetrija, a drugi teorija struna (a potom na nju nadograđena i teorija superstruna). U Supersimetričnom svemiru, svaki poznati tip čestice ima svog težeg, nevidljivog blizanca. Po teoriji struna, realnost ima 10 dimenzija, ali je njih šest „sklupčano“ tako čvrsto da su (za sada) skriveni od nas i naše tehnologije. Matematika koja stoji iza obe teorije se veoma često opisuje kao lepa, ali uopšte nije jasno da li je to tačno – u svakom slučaju, ima mnogo onih koji misle da ove teorije poseduju ogromnu matematičku lepotu.006Ovde matematičare neprekidno vreba opasnost. Lepota je nepouzdan vodič. “Možete, bukvalno, biti zavedeni nečim što nije tačno. I to je rizik koji preuzimate”, kaže Dijkgraaf koji radi u institutu čiji je moto “Istina i lepota”, dok su na grbu iscrtane jedna naga i jedna obučena žena. “Ponekad pomislim da fizičari, kao nekada Odisej, moraju da se privežu za brodski jarbol kako ih ne bi zavele zavodljive sirene matematike.”

Može biti da su matematičari i naučnici još jedini koji bez oklevanja koriste reč “lepo”. Nju retko koriste i književni, umetnički ili muzički kritičari, koji možda strahuju da će zvučati previše „prostosrdačno“, odnosno da će ovaj pojam biti shvaćen kao površan, ili, čak, kao – kič.

“Veoma sam ponosan što je u matematici i nauci još uvek prisutan koncept lepote. Mislim da je to neverovatno važan koncept u našim životima”, kaže Dijkgraaf. “Osećaj lepote koji doživljavamo u matematici i nauci je višedimenzionalni osećaj lepote. Ne razmišljamo da li je u bilo kakvom sukobu s onim što je duboko, ili zanimljivo, ili moćno, ili značajno i sa smislom. Za matematičara, sve je obuhvaćeno ovom jednom rečju: lepota.”

Gardijan

Najvažnija stvar o kojoj misle svi u Davosu 2016.


Pre skoro 30 godina, nobelovac Robert Solou (Robert Solow), jedan od najcenjenijih svetskih ekonomista koji se bavio svetom rada, napravio je čuvenu pošalicu: “Računarsko doba možete uočiti posvuda – izuzev u statistici produktivnosti”. Osim što je primer za ono što “pali” kao humor među ekonomistima, ta enigma je postala poznata kao Solouov paradoks, pojam koji označava da čak i kad tehnologija napreduje, produktivnost može da zaostaje. To je paradoks, jer, iako znamo da tehnologija povećava produktivnost a veća produktivnost stvara ekonomski rast, ne možemo da dokažemo da ove dve stvari rade u tandemu.

Solouov paradoks je na vrh pameti svima na ovogodišnjem Svetskom ekonomskom forumu (WEF) u Davosu, u Švajcarskoj, na godišnjem sastanku top političara, izvršnih direktora, bankara i ekonomista. Konkretno: očigledno je da tehnologija menja skoro svaki aspekt našeg života – od toga kako pojedinci zarađuju platu do toga kako države vode ratove. Kada će nam onda ekonomska istorija reći kada je vreme za rast?

Umesto da bude spreman da ubira plodove tehnološkog prodora, svet se sve više priprema za ono što bi moglo biti još jedna globalna recesija u 2016. Usporavanje rasta u Kini, bauljanje Evrope, opadajuće cene nafte koje istovremeno desetkuju rast na tržištima u razvoju i ne uspevaju da obezbede uobičajeni podsticaj bogatijim zemljama – sve ove stvari dodaju svoj doprinos “savršenoj oluji” globalne mrzovolje. Čak i SAD, koje bi trebalo da budu najsvetlija tačka u globalnoj ekonomiji, očekuju da će njihov rast BDP-a ove godine možda biti i niži od oskudnih 2% kojem su se svojevremeno nadali. Osam godina posle Velike recesije, ovo je više nego depresivno za američke političare koji se još uvek živo sećaju drhtanja zbog zamalo potpunog kolapsa globalnog finansijskog sistema u 2008. godini.

Ovaj sumorni scenario se odvija usred onoga što publika Svetskog ekonomskog foruma (WEF) naziva “četvrtom industrijskom revolucijom”. Ona obuhvata mnogo najuzbudljivijih i obećavajućih tehnoloških inovacija našeg vremena u velikom broju polja, uključujući veštačku inteligenciju, mašinsko učenje, robotiku, nanotehnologiju, 3D štampanje, genetiku i biotehnologiju. Ne samo da se ove oblasti razvijaju brže nego ikada ranije, već se one i preklapaju na način koji remeti globalnu ekonomiju, počevši od tržišta rada. U izveštaju koji je objavio WEF tokom konferencije, predviđa se da ovi trendovi, u kombinaciji sa drugim socio-ekonomskim i demografskim promenama, neće dovesti do porasta broja radnih mesta, već do neto gubitka od preko 5 miliona radnih mesta u 15 vodećih razvijenih i zemalja u razvoju do 2020. godine.

Veliko je pitanje da li će se ovaj privredni paradoks razrešiti sam tokom vremena, na način na koji se to dogodilo sa poslednjim. Sredinom 1980-ih prošlog veka, kompanije širom sveta, pre svega u SAD, počele su sa velikim ulaganjima u nove kompjuterske i softverske tehnologije. Personalni računari su odjednom bili svuda, a kompanije poput Microsofta su procvetale.

Pošto je ekonomski rast samo produktivnost u kombinaciji sa rastom stanovništva, koja u svetu usporava, potrebno nam je da 4. industrijska revolucija počne da proizvede i malo magije

Pošto je ekonomski rast samo produktivnost u kombinaciji sa rastom stanovništva, koja u svetu usporava, potrebno nam je da 4. industrijska revolucija počne da proizvodi i malo magije

Ipak morali smo da pričekamo do kasnih 90-tih da bi smo videli da je ekonomija izvukla neku korist iz ovih kretanja. Sličan trend vidimo i sada: ljudi u svojim džepovima nose moć nekoliko računara u obliku svojih pametnih telefona. Programi za njih koštaju samo par dolara, u poređenju sa stotinama dolara potrebnih za kupovinu softvera neophodnih da bi ste stavili svoje računare u pogon. A ipak produktivnost čami na dnu. Pošto je ekonomski rast u osnovi samo produktivnost u kombinaciji sa rastom stanovništva, koja usporava u većini delova sveta, nama je očajnički potrebno da četvrta revolucija počne da proizvodi malo magije.

Deo problema je u tome što je ova revolucija do sada uglavnom bila potrošačka. Prema nedavnom izveštaju McKinsey Global Institute (MGI), samo oko 18% američke industrije je u potpunosti prihvatililo. Svako koristi Internet, ali samo nekolicina sektora – mediji, finansijske usluge, i IT koriste digitalne tehnologije u potpunosti za rast svog poslovanja. Štaviše, ove industrije nisu naročito veliki poslodavci u odnosu na manje tehnološki napredne, kao što su obrazovanje, maloprodaja i proizvodnja.

U stvari, najmanje digitalno opremljene industrije, uključujući turizam, zdravstvenu zaštitu i krajnje maloprodajne usluge, trenutno su najbrži kreatori posla. S obzirom da digitalno robusnije industrije imaju tendenciju da stvaraju manje ali bolje plaćenih poslova, to je loša formula za produktivnost, a da ne pominjemo plate i ekonomski rast. “Svi mi koristimo cool nove tehnologije, a nekoliko kompanija prave profit na njima kao da su banditi, ali mi jednostavno još ne vidimo efekte na produktivnost i rast koji bi se prelili na celinu ekonomije”, kaže direktor MGI Džejms Manjika (James Manyika), jer industrija kao celina se još uvek nije ukrcala na taj brod.

Deo objašnjenja je i kašnjenje koje je prirodno. Bilo je potrebno čekati 50 godina da bi se efekti uvođenja električne energije prelili na celu ekonomiju. PC revoluciji je trebalo oko jedne decenije. Predstojeći talas će čak možda doći i malo brže, s obzirom da se kompanije sada suočavaju sa pritiskom ne samo unutar svojih industrija, već i izvan njih. Četvrta industrijska revolucija primorava kompanije da se takmiče u svim sektorima i preko svih dosadašnjih granica. Kompanije Tesla i Google su imale uticaja na dugoročno planiranje u Fordu i General Motorsu, na primer. I globalizacija se demokratizuje i mala i srednja preduzeća (MSP) koriste tehnologiju da se takmiče sa većim izazivačima u inostranstvu. Developeri aplikacija u zapadnoj Africi sada mogu da prodaju svoju robu jednako lako kao i oni u Kaliforniji.

Ali velika, tradicionalna industrijska preduzeća su još uvek daleko najveći svetski poslodavaci. To je jedan od razloga što svi gledaju ulazak General Electric u industrijski Internet, ili Internet svih stvari (Internet of things). Tokom proteklih nekoliko godina, 124-godišnja firma se transformisala vraćajući se svojim korenima industrijskog inovatora, kladeći se na ideju da će, kao što se to u  SAD desilo u posleratnom periodu, tržišta u razvoju na kraju doživeti bum srednje klase. GE se sada fokusira na rast saobraćaja, infrastrukture, komunikacija, izgradnju i poslove u oblasti zdravstvene zaštite. Do sada, izgleda da se to isplatilo.

Uznemirujući problem sa zaostatkom u dolasku ovih pozitivnih trendova se negativno odrazio na sferu rada. Radnici sa srednjim dohotkom posebno su osetili stagnaciju svojih plata dok je tehnologija sve više napredovala na privrednoj lestvici. MGI procenjuje da bi se taj trend mogao ubrzati u narednoj deceniji, kako veštačka inteligencija bude radila sve više poslova koji su do tada bili rezervisani za ljude. Trenutne AI tehnologije mogu da zamene samo oko 5% radnih mesta, ali će značajno promeniti prirodu većine njih, što znači da će kompanije i vlade podjednako morati da troše više novca i vremena za obuku radnika u budućnosti. U suprotnom, zarade će nastaviti da stagniraju, kao i tražnja. (U SAD i većini ostalih bogatih zemalja, potrošačka tražnja je najveća komponenta ekonomije.)

Isto tako, nejednakost će rasti. Među uskomešanom gomilom belih knjiga u Davosu: Oksfamov izveštaj o “ekonomiji 1%” ističe da 62 najbogatija čoveka u svetu sada imaju toliko bogatstvo koliko i polovina planete. “Četvrta industrijska revolucija, Internet of Things – sve to može stvoriti rast i prosperitet na duge staze, ali u kratkom roku, ako želite rast, morate da kreirate veću tražnju”, kaže Manjika. S obzirom da ovih 1% uprkos svom bogatstvu mogu da kupe (ipak) ograničenu količinu dobara, to će zahtevati stvaranje dalekosežnih pretpostavki rasta –promene u velikom broju oblasti od načina oporezivanja do korporativnog upravljanja do obrazovanja i infrastrukture. Ukratko, to su teške stvari.

Sve ove teme će biti živo diskutovane u Davosu. Ali elite na Magičnoj planini nemaju beskonačno vreme da deluju na osnovu tih saznanja. Jedno od najnovijih uznemirujućih istraživanja koja su objavljena je godišnji Edelmanov barometar poverenja (Edelman Trust Barometer), koji je obuhvatio više zemalja i u okviru koje su na desetine hiljada ljudi pitali koliko veruju vlasti, biznisima, nevladinim organizacijama i medijima da će uradi ono što je ispravno za stanovništvo u celini. Istraživanje je pokazalo da postoji dubok jaz u verovanju u institucije  između dobrostojećeg dela stanovništva i onih ostalih. Dok je poverenje u porastu među obrazovanom elitom, ono je gotovo na rekordno niskom nivou među prosečnim svetom. Nije ni čudo što imamo socijalne nemire, populizam i politiku besa među temama o kojima se raspravlja u Davosu.

Kao što istorija nažalost pokazuje, nema nikakvog paradoksa na delu kada slabost ekonomije generiše više ekstremizma, izolacionizma i nestabilnosti.

 

The Time

Tehnološka revolucija je podbacila


Već neko vreme čitamo o tehnološkoj revoluciji: Čitave industrije su “narušene” (disrupted), način na koji radimo najjednostavnije stvari se menja, tempo inovacija se ubrzava. Prema ekonomskim podacima, međutim, ne dešava se baš ništa posebno. Kome da verujemo, našim očima ili podacima? To nije očigledan izbor, piše Leonid Bershidsky za  poslovni portal Bloomberg.

33Bivši američki sekretar za finansije Leri Samers (Larry Summers) govorio je o jednom aspektu tog paradoksa na nedavnoj konferenciji o produktivnosti. Ako tehnološke inovacije teraju nekvalifikovane radnike izvan korpusa radne snage – 1965. godine u SAD je radilo 19 od 20 muškaraca u dobi od 25 do 54, a sada samo 17 – ne bi li trebalo da produktivnost brže raste? Intuitivno, trebalo bi, kako zbog manje zaposlenih i rasta ekonomije tako i zbog činjenice da iz korpusa radne snage bivaju izbačeni oni koji su najmanje produktivni.

Umesto toga, ukupan faktor rasta produktivnosti u Sjedinjenim Državama je prepolovljen u protekloj deceniji, u poređenju sa prethodnim periodom.

Samersov intuitivni odgovor – on je, naime, u svom govoru istakao da produktivnost nije bila njegovo akademsko polje – bio je da je možda ekonomski rast pogrešno meren: Metodologija koju već generacijama koristimo da bi izmerili BDP je možda nepogodna da “uhvati” ono što se događa u vrlom novom svetu. Samers tvrdi, na primer, da nema očiglednog načina da se izmeri poboljšanje kvaliteta nastalo usled inovacija. On je od svoje publike tražio da glasa: “Šta bi ste radije izabrali za sebe i svoju porodicu: zdravstvo iz 1980. i cene iz 1980. ili zdravstvo iz 2015. i cene iz 2015.?” Nije teško pogoditi odgovor.

Samers je zatim zaključio da je u stvarnosti, poboljšanje kvaliteta u zdravstvu učinilo da inflacija u ovom sektoru bude negativna u poslednjih 30 godina, proizvodeći oko 0,3-0,4 odsto bruto domaćeg proizvoda koji nije uračunat u ukupan privredni rast. On je dodao:

16„To što primećujemo u zdravstvu, je, po mom mišljenju, bar donekle prisutno i u mnogim drugim oblastima. Kad odete u prodavnicu, postoji mnogo više vrsta proizvoda u prodavnici nego što ih je nekada bilo. Zaista je lakše proći kroz aerodrom sa bording kartom na mobilnom telefonu nego u vreme kada smo nosili kartu do pulta za karte koja je potom bila čekirana da bi smo dobili bording kartu. Rado bih platio 30 odsto, čak 40 odsto od cene moje karte od Bostona do Vašingtona, da bih imao dodatne pogodnosti u vezi sa načinom na koji sada putujem.

Argument o pogrešnom merenju je takođe omiljen u Goldman Saksu (Goldman Sachs) kada treba objasniti paradoks produktivnosti.

Investiciona banka tvrdi da je u domenu softvera i digitalnog sadržaja mnogo teže meriti nivo cena prema kvalitetu i njihov stvarni doprinos društvenom proizvodu nego u većini drugih sektora.

Ekonomisti koji su specijalizovani za merenje produktivnosti nisu baš voljni da “kupe” ova objašnjenja. U istom tom Peterson Institutu (Peterson Institute), gde je Samers govorio na konferenciji, Džon Fernald (John Fernaldiz FED-a u San Francisku rekao je da je moguće da ima teškoća u merenju kvalitativnih promena, što može dovesti do procena nižeg od realnog BDP i industrijske proizvodnje, ali da je ovde reč o samo 0,1 odsto do 0,2 odsto “potcenjivanja” bruto domaćeg proizvoda, što nije dovoljno da se objasni veliko usporavanje produktivnosti.

02Osim toga, mnoga od tih nedavnih poboljšanja nisu baš nešto što nas čini produktivnijim na poslu. “Recimo, prednosti gledanja videa sa kućnim ljubimcima na Internetu nisu uračunate u rast BDP, rekao je Fernald. Različite vrste digitalne zabave i komunikacija u kojima uživamo zahvaljujući tehnološkoj revoluciji uglavnom utiču na našu ne-tržišnu aktivnost. Drugi način razmišljanja o tome je da mnoge od nedavnih inovacija samo olakšavaju i čine zabavnijim stvari za koje teško da smo ikad i primetili da su teške i nezabavne. Ljudi koriste internet aplikacije za slanje poruka umesto ranijeg oslanjanja na e-mail ili plaćaju svojim telefonima, tamo gde su nekada vadili kreditnu karticu. Ne postoji vidljiva promena ni u korišćenju vremena – jednostavno prelazimo na nov, navodno savršen način da završavamo iste stare transakcije. Veći deo “Internet of Things” (sada se često naziva Internetom svega) – povezanih sijalica i slavine, prekomerne elektronike i softvera u automobilima – pruža ovu vrstu “poboljšanja kvaliteta”: gadžeti su divni, ali su retko od suštinskog značaja.

Postoji mogućnost da se sva ta poboljšanja uvrste u novu formulu izračunavanja BDP, ali to bi značilo promenu celog modela – u suštini cele ideologije – načina na koji se meri ekonomija. Umesto rešavanja paradoksa produktivnosti, takve promene bi ga jednostavno zaklonile.

43Pronalaženje prihvatljivog objašnjenja u okviru trenutnog skupa pravila nije nemoguće. U jednoj upravo objavljenom dokumentu, Rajan Deker (Ryan Decker) iz Upravnog odbora Federalnih rezervi i njegovi saradnici ističu da je brzi rast produktivnosti 1980-ih i 1990-ih bio vođen “visokom stopom rasta mladih firmi” – drugim rečima, start-upova. To je nešto kontra-intuitivno s obzirom na trenutnu vidljivost start-up kulture i preferenckoje generacije Y i Z gaje prema preduzetništvu, ali, prema Dekerovom papiru, poslovna dinamika u SAD je naglo opala od 2000. godine: “SAD ima mnogo niži tempo proizvodnje start-upova, a oni koji se probiju imaju manje šanse da postanu visoko rastuće firme.”

Poslovna dinamičnost je opala kako u sektoru novih tehnologija koji je obavijen tolikim uzbuđenjem i vrlo “in” kao i u tradicionalnijim sektorima – maloprodaji i proizvodnji. Deker i njegovi saradnici nisu istraživali razloge ove pojave, ali moguće objašnjenje je da se tehnološka revolucija zaista desila u 1980-im i 1990-im. 20Personalni računari su doneli veliki napredak. Ipak pre dvadeset godina, neki su očekivali više rasta produktivnosti od kompjuterizacije nego što ju je ona stvarno donela i diskutovali su o objašnjenjima koje smo gore pomenuli – kao što je pogrešno merenje. Što se više stvari menjaju, to više ostaju iste.

Uspon mobilnih ili društvenih mreža doneo je značajne promene, ali ne revolucije u smislu produktivnosti i uticaja na ekonomiju. Paradoks produktivnosti će nestati kada se pojavi jedna stvarno velika stvar. U ovom trenutku, mi živimo na repu buma koji su iznedrile prethodne generacije – i možda upravo prolazimo kroz proces inkubacije neposredno pred novi skok napred.

 

Leonid Bershidsky, Bloomberg

 

Investiciono bankarstvo: Napuštanje Volstrita (1/2)


Sveže iz Mreže: Veterani svetskog bankarstva su u “talasu cunamija” napustili velike banke kako bi otvorili sopstvene “finansijske butike” i “kioske” – savetodavne finansijske firme. Mogu li oni nadživeti bum spajanja i pripajanja (M & A)?

01

Osvrnuvši se na svojih šest godina mandata u Barklizu (Barclays), Hju “Skip” Mekgi (Hugh E. McGee) može da se seti samo jedne stvari koja mu nedostaje: korporativnih izleta sa Phil Mickelson-om, golferom superstarom koji je dugo pod pokroviteljstvom britanske banke.

McGee je okrenuo leđa životu na Volstritu u aprilu prošle godine, kada je podneo ostavku na mesto šefa američke investicione banke Barkliz. Bio je među najplaćenijim bankarima ove banke, zaradivši bonus od 13 miliona dolara u 2013. godini, ali više nije mogao da se nosi sa radom u ogromnoj “univerzalnoj” banci.

“Između poštovanja propisa i unutrašnje birokratije, shvatio sam da 80 odsto svog vremena provodim radeći nešto što nije u vezi sa klijentima, što zaista nije zabavno”, kaže McGee koji je bio glavni diler za sklapanje poslova u Liman Braders (Lehman Brothers) pre njegovog kolapsa.

Ipak, gospodin McGee (56), nije odustao od investicionog bankarstva: Umesto toga se vratio u rodni Teksas, da bio osnovao Intrepid Financial Partners, banku koja savetuje kompanije iz oblasti energetike.

Hugh McGee se pridružio drugim bankarima veteranima, uključujući i Sajmona Robeja (Simon Robey, ex-Morgan Stenli), Simonu Varšovi (Simon Warshaw), ex-UBS i Pola Taubmana (Paul Taubman), ex Morgan Stanley, koji su odlučili da napuste radna mesta na na Volstritu i londonskom Sitiju i pokrenu svoje butik firme.

Frustrirani novim propisima uvedenim posle krize – od kojih je većina koncipirana sa ciljem sprečavanja rizičnog trgovanja i kreditiranja i imaju manje veze sa savetovanjem o sklapanju poslova – oni su odlučili da odustanu od relativne sigurnosti rada u jednoj velikoj banci. Sa sobom su poneli veze sa klijentima negovane više od deceniju.

03

Ova nova generacija “butik banaka” na neki način podseća na ranija vremena. Mala partnerstva, gde je odabrana grupa viših bankara uglavnom posedovala firmu kojom upravlja, dominirala je Vol Stritom decenijama. Kritičari velikih univerzalnih banaka kažu da je ovo superioran model: oni će verovatno opreznije preuzimati rizike ako je u igri koža partnera.

Bankari tvrde da se bolje zabavljaju – i prave više para – bez okova velikih banaka. Klijenti kažu da pozdravljaju ono što bi trebalo da budu saveti koji su manje konfliktni, s obzirom da butici nemaju da prodaju druge proizvode.

Ova ružičasta slika može biti u velikoj meri povezana sa novim usponom pravljenja dilova. Globalni obim spajanja i akvizicija je na putu da nadmaši četiri triliona dolara u 2015, što je najviši nivo od finansijske krize. Unutar tog rastućeg tržišta, nezavisne firme šire svoj tržišni udeo. Prema Dealogic-u, maloj firmi specijalizovanoj za savetovanje, one su učestvovale sa 16 odsto u poslovima M&A tokom 2014. godine, što je dvostruko više nego 2008. godine.

Pitanje je da li će butici moći da nadžive bum M & A – i da li će preduzeća sa nekoliko desetina bankara biti u stanju da preuzmu više posla od velikih banaka, gde su mnogi od njih sticali zanat.

Butici će uvek biti u nepovoljnom položaju kada je reč o klijentima koji žele “one-stop shop” – banku koja može da pruži savete o zaključivanju poslova i u stanju su da finansijski zaokruže sredstva neophodna da se takav dil i sprovede. Dil koji “pregori”, ili dogovor koji se raspadne, može biti katastrofalan za male firme. Takođe, postoje rizici oslanjanja na samo nekoliko velikih poslova godišnje – pogotovo sa toliko mnogo novih butika koji se bore za ograničen broj transakcija.

“Vrednost butika kao retkosti je smanjena a njihova međusobna konkurencija je narasla sa širenjem drugih vrhunskih franšiza kao što su Centerview i Perella Weinberg, i uskoro PJT Partners“, kaže Ešli Serao, (Ashley Serrao), istraživač-analitičarka u Credit Suisse.

Veća kriška

Za sada, ipak, ovi izdanci uživaju u rastućoj plimi. Majkl Zaoui i njegov brat Joel  (Michael & Yoel Zaoui), braća koja su osnovala Zaoui & Co nakon napuštanja visoko pozicioniranih mesta u Morgan Stanliju i Goldman Saksu (Goldman Sachs), inkasirali su $22m za svoju firmu savetujući Dresser-Rand, američkog proizvođača opreme za naftna polja, u poslu njihove prodaje Siemensu prošle godine za $7.6mlrd. To je skoro 29 miliona dolara, koliko je Morgan Stenli zaradio radeći sa Dresser-Random. Međutim, sa samo nekolicinom mlađih bankara i pomoćnog osoblja, i bez akcionara, veći komad honorara otići će braći Zaoui.

Koncept savetodavnog butika datira još iz 1980-ih, kada su neki od najvećih imena Volstrita napustili vladajuće banke da bi osnovali svoje firme – često posle legendarnih raskida. Petar Peterson (Peter Peterson) i Stiven Svarcman (Stephen Schwarzman) su dali otkaz u Liman Bradersu nakon epske borbe za prevlast da pokrenu Blackstone Group 1985. Blackstone je počeo kao savetodavna firma za M & A pre nego što je evoluirao u fond za investiranje u akcije, formulu koja je učinila da obojica postanu milijarderi.

Nekoliko godina kasnije, Brus Vaserstein (Bruce Wasserstein) i Džozef Perela (Joseph Perella) napustili su First Boston i stvorili Wasserstein Perella. Perella, 73, kaže da započinjanje s novom firmom krajem 1980-im bilo lakše nego što je to danas.

“Nije bilo nikakvog cinculiranja” (gardening leafs), kaže on, misleći na praksu suspendovanja bankara sa platom na određeno vreme posle njihovog odlaska, ne bi li ih tako sprečili da nekome otkucaju neku poverljivu informaciju o dilu koji je bio u toku. “Vi bi ste samo prešli na drugu stranu ulice i počeli da poslujete. Klijent bi došao za vama. To je ono što ja zovem vertikalnim uspinjanjem. ”

Perella je napustio Wasserstein Perella kako bi se pridružio Morgan Stenliju 1993. godine nakon razlaza sa njegovom koosnivačem Brus Vasersteinom. Potom je bio koosnivač još jednog butika koji nosi njegovo ime 2006. godine, Perella Weinberg Partners, sa Peterom Veinbergom (Peter Weinberg) koji je tada bio u Goldman Saksu.

Način na koji butici targetuju klijente se nije mnogo promenio od 1980. godine do danas: njihovom savetu direktorima i glavnim rukovodiocima može se verovati jer je neumrljan unakrsnom prodajom kredita, derivata i proizvodima – imovinom koja je uobičajena za velike banke. “Kada smo počeli, želeli smo da ponovo stvorimo ono najbolje od starog Volstrita, gde su ljudi bili lojalni svojim klijentima i uvek u svom uglu”, kaže Perella.

Unakrsna prodaja se samo intenzivirala krajem 1990-ih, kada je “finansijski tržni centar” postao prethodnik budućeg modela. Sendi Vejl (Sandy Weill) uvezao je zajedno različite komercijalne banke, investicione banke, brokerske kuće i osiguravajuća društva da bi formirao Citigroup. JP Morgan Chase Manhattan i dogovorili da se spoje a Credit Suisse je progutao Donaldson, Lufkin & Jenrette 2000.Sve ovo je podsticano još od 1999. godine, kada je ukinit Glas -Stigalov zakon (Glass-Steagall) iz 1933, koji je držao investicione banke i komercijalne banke odvojenima kako bi se zaštitili deponenti. Elizabeth Warren, koautorka All Your Worth: The Ultimate Lifetime Money Plan i jedna od pet spoljnih i nezavisnih strucnjaka Kongresnog nadzornog veća za sprovođenje Programa spasavanja problematične i krizom ugrožene imovine (Troubled Asset Relief Program, TARP), izjavila je da je ukidanje tog Zakona 1999. direktno doprinelo razbuktavanju globalne finansijske krize iz 2008-2009. 

 

WSJ

Zašto ekonomisti imaju problema sa finansijskim mehurovima?


Danas se osporava jedna od najjačih dogmi moderne ekonomije, što bi moglo imati krupne implikacije po stanje ove profesije. A nove i “nepokorne” ideje nam, takođe, mogu pomoći kako bismo bolje razumeli razloge zbog kojih nastaju finansijski mehurovi, piše Noah Smith za poslovni portal Bloomberg.

03

Ekonomisti već jako dugo vremena shvataju kako su ljudska očekivanja od presudnog značaja za ekonomsko ponašanje. Ako očekujete da izgubite posao, možda ćete malo bolje preispitati vašu želju za kupovinom novog automobila. Ukoliko u skorijoj budućnosti očekujete inflaciju, možda razmislite o kupovini raznih nužnih stvari upravo sada, pre nego što cene odu naviše, i tako dalje. Problem je u tome što je vrlo nezgodno praviti ekonomsko-matematičke modele koji mogu u sebi da potpuno sažmu kako će ljudi postaviti svoja očekivanja. Da li ih formiraju na osnovu dugoročnih trendova? Da li u obzir uzimaju nedavne promene? Da li svoje prognoze zasnivaju na teorijama, i, ako je tako, kojim su se teorijama koristili?

Ekonomisti su se borili sa ovim pitanjima tokom 1960-ih i 1970-ih, i tada došli do velikog broja različitih odgovora, ali niko od njih nije ponudio preterano zadovoljavajuće rešenje i formulu. Potom je Robert Lukas (Robert Lucas), ekonomista s Univerziteta u Čikagu u par svojih radova iz 1972. i 1976. godine konstruisao teoriju koju su ekonomisti koristili u nastupajućim decenijama. Ovo je nešto što nazivamo racionalnim očekivanjima.

Lukasova ideja počiva na tehnici razvijenoj više od jedne decenije pre toga, i to od strane ekonomiste po imenu Džon Mut (John Muth). Po njemu, racionalna očekivanja podrazumevaju da, u proseku, ljudi prave ispravne prognoze o budućnosti ekonomije. Oni, ponekad, naravno, čine i greške – predviđajući da će, recimo, nezaposlenost biti manja nego što se potom zaista ispostavi u realnosti, ili prognoziraju da će inflacija biti viša od realne. Ali, sve u svemu, ljudi ne prave nikakve “sistemske greške”. U suštini, Teorija racionalnih očekivanja nam govori da je mentalni model ljudi o načinu na koji funkcioniše ekonomija u principu korektan model.

Ekonomisti su doslovce prigrabili ovaj princip racionalnih očekivanja, koji je ubrzo postao kanon. Do 1990-ih, gotovo niko unutar ekonomskog mejnstrima nije koristio bilo šta drugo. Princip racionalnih očekivanja u ekonomiji je relativno jednostavan za korišćenje, pa je stoga i univerzalno prihvaćen. Pored toga, ova ideja je bila veoma atraktivna za one koji vole da misle kako privreda funkcioniše glatko i efikasno. Ako preovladavaju racionalna očekivanja, onda ima i manje prostora za vladine intervencije i poboljšavanje performansi funkcionisanja privrede, odnosno, za finansijere da zarade novac koji počiva na iracionalnosti stanovništva.

04

Ipak, oduvek se provlačio jedan veliki problem sa racionalnim očekivanjima – ona, možda, jednostavno ne pružaju ispravnu i realnu perspektivu. Ekonomisti,zapravo, zaista mogu činiti sistemske greške u načinu na koji predviđaju funkcionisanje privrede. Ukoliko ekonomisti insistiraju na korišćenju pogrešne pretpostavke kao jezgra svojih modela, to će ih primorati na sve brojnija, preterano komplikovana teorijska iskrivljenja, s obzirom da modeli uvek i nanovo ne odgovaraju činjenicama. Cinici bi rekli da je to upravo ono što vidimo da se dešavalo u makroekonomiji u protekloj deceniji, gde su vladajuće teorije dovele do nekoliko dragocenih – i pre svega tačnih – predviđanja.

Zašto bi princip racionalnih očekivanja uopšte bio pogrešan? Pa, iz nekog razloga, čovek nije rođen sa saznanjima o funkcionisanju ekonomije. On to mora da nauči. Taj proces učenja uvek će ga u nekoj meri ostaviti u neizvesnosti oko toga kako stvari zaista funkcionišu, što će u njemu, potom, proizvesti oklevanje u stvarima kao što je ulaganje u akcije. Drugi problem je što je primanje potpuno tačnih podataka verovatno previše zahtevno za ljudski mozak – pa verovatno koristitimo aproksimacije.

Ekonomisti su uslovno počeli da koriste ove modele kao i druge vrste malih odstupanja od racionalnih očekivanja na veoma ortodoksan, takoreći tvrdokoran i dogmatski način. Međutim, negde u pozadini ispod, jedan mali broj ekonomista oduvek je podozrevao kako bi racionalna očekivanja mogla da budu srušena na daleko dramatičnije načine. Ljudska psihologija može ova očekivanja kreirati ne samo na pogrešan, već i na dramatično i dosledno pogrešan način. Ovu ideju su 2013. godine razradili Robin Grinvud (Robin Greenwood) i Andrej Šlejfer (Andrei Shleifer)  Flajšer s Univerziteta u Čikagu , dvojica vodećih svetskih ekonomista u oblasti finansijskog bihejviorizma – ekonomije zasnovane na čovekovom mentalnom ponašanju i unutrašnjem psihološkom stanju.

01

Trio ekonomista iz Upravnog odbora Federalnih rezervi je otišao i korak dalje, istražujući da li ljudske greške mogu objasniti nastajanje finansijskih mehurova. Prilikom skorašnje prezentacije u Nacionalnom birou za ekonomska istraživanja, Džesi Briker, Džejkob Krimel i Klaudija Zam (Jesse Bricker, Jacob Krimmel, Claudia Sahm) predstavili su neke vrlo zanimljive rezultate.

FED-ova trojka imala je uvid u podatke iz Ankete potrošačkih finansija (Survey of Consumer Finances) pre i posle prskanja mehura u trgovini nekretninama iz 2008. Oni su pritom utvrdili da je bilo više optimističnih ZIP kodova tj. poštanskih brojeva na mestima gde su ljudi imali nerealno visoka očekivanja u poređenju sa sopstvenim prihodima – pa je tu bilo verovatnije preplatiti vrednost kuće koju su uzeli na kredit uoči pucanja mehura 2008. Ovi previše optimistički nastrojeni ljudi su se, takođe, i više zaduživali, pa se time povećavala i verovatnoća da će baš oni povećati svoje zaduživanje kao odgovor na rast cena nekretnina.

Ovo je izuzetno upečatljivo kao sistemska greška. Ako ste bili menadžer hedž-fonda tokom 2005. ili 2006. godine, a imali ste pristup podacima koji pokazuju da su ljudi previše optimistični, mogli ste napraviti puno novca short selling* metodom prodaje tokom stambenog finansijskog mehura – što su, u stvari, neke menadžere hedž-fondova i činili. Ako ste bili vlast u 2005. i 2006. godini, možda ste bili u mogućnosti da iskoristite istraživanja o očekivanjima javnog mnjenja, kao znak upozorenja koji vam je naznačio trenutak kada da ograničite hipotekarne kredite.

[Short selling*, tehnika ulaganja suprotna finansiranju sa margin kreditom; omogućava profit kada je tržište u padu i zasniva se na pozajmici deonica od investicione kompanije kao i prodaji istih, kako bi se na kraju pokrila prodaja tj. otkupila nazad ista količina deonica, ali po nižoj ceni. Profit je u razlici cene i ostvaruje se kratkoročno, unapred regulisano od strane investicione kompanije. Naravno, gubitak je lako moguć i rizik je veliki.]

Drugim rečima, racionalna očekivanja bi, u stvari, lako mogla biti sasvim pogrešna. Ljudi mogu praviti sistemske greške, misleći kako će finansijski uspesi ili krahovi trajati zauvek. Ako je to slučaj, onda se od ekonomske profesije i nauke očekuje da odustane od jedne od svojih najjačih dogmi. Ali ovo se može uveliko isplatiti – ukoliko bi modeli unutar ekonomske struke počeli da uspešno objašnjavaju fenomene poput finansijskih mehurova ili krahova berze.