Tag Archives: unutarnji

Čarolija brojeva: lepota skrivena u matematici

00

Koncept lepote u nauci i matematičkim formulama pojava je koju su zapazili još prvi matematičari. Lepotu i nauku, recimo, jako lepo ilustruje metod pomoću kojeg  matematičari rešavaju kvantnu teoriju ili opisuju gravitaciju. Od formule E = mc² do teorije struna, matematička lepota je hiljadama godina inspirisala fizičare da sastave neke od najzanimljivijih opisa stvarnosti. “Lepota je baklja koju držite u uverenju da će vas napokon dovesti do istine”, kaže ser Majkl Atijah (Michael Atiyah).

Francuski fizičar Pol Dirak

Francuski fizičar Pol Dirak

Pol Dirak (Paul Dirac) je imao oko za lepotu. U jednom eseju iz maja 1963. ovaj britanski nobelovac je devet puta pomenuo lepotu. To je učinio u četiri maha, i to u četiri uzastopne rečenice, dakle „s predumišljajem“. U tom članku, Dirak je predstavio način na koji fizičari vide prirodu. Rečju „lepota“, međutim, nikada nije definisan jedan zalazak sunca, niti jedan cvet, ili priroda u bilo kom tradicionalnom smislu. Dirak je govorio o kvantnoj teoriji i gravitaciji. Lepota leži u matematici.

001Šta to u matematici znači „biti lep“? Ne radi se o izgledu simbola na stranici. To je, u najboljem slučaju, od sekundarne važnosti. Matematika postaje lepa snagom i elegancijom svojih argumenata i formulama; kroz mostove koje gradi između prethodno nepovezanih svetova. Onda kada iznenađuje. Za one koji uče jezik, matematika ima isti kapacitet za lepotu kao umetnosti, muzika, nebo ispunjeno zvezdama u najtamnijoj noći.

“Lagani razvoj Mocartovog koncerta za klarinet je zaista divno muzičko delo, ali ne bismo zbog toga otštampali stranicu s notama i stavili je na zid. Ne radi se o tome da delo nije lepo: Radi se o muzici i idejama, kao i o emocionalnoj reakciji”, kaže Viki Nil (Vicky Neale), matematičarka sa Univerziteta u Oksfordu. “Ista je stvar i s jednim matematičkim delom. Nije u pitanju kako ono vizuelno izgleda, već je u osnovi svega estetika misaonih procesa.”

Skeniranje mozga matematičara pokazuje da njihovo posmatranje formula koje smatraju lepima izaziva u njima aktivnost u istoj emocionalnoj regiji mozga kao i kada se uživa u nekom velikom umetničkom ili muzičkom delu. Što je formula lepša, to je veća aktivnost u medijalnom orbito-frontalnom korteksu. “Što se tiče reakcije našeg mozga, matematika za njega ima istu lepotu kao i umetnosti. Postoji zajednička neurofiziološka osnova”, kaže ser Majkl Atijah (Michael Atiyah), počasni profesor matematike univerziteta u Edinburgu.

01

Pitajte matematičare o najlepšoj jednačini: veoma često bi vam kao iz topa mnogi od njih dali isti odgovor: nju je u 18. veku napisao švajcarski matematičar Leonard Ojler (Leonhard Euler). Ona je kratka i jednostavna: eiπ+1=0. Ona je po mnogim matematičarima savršen uzor urednosti i kompaktnosti, a to je čak i za oko laika koji se ne razume u brojeve i matematičke nauke. Njena lepota, međutim, dolazi iz dubljeg razumevanja postavljenih odnosa: ovde je pet najvažnijih matematičkih konstanti zajedno uvezano u jednu. Ojlerova formula spaja svet kružnica, imaginarne brojeve i eksponencijale.

Lepota zapretena u drugim formulama može biti i očiglednija. Svojom epohalnom formulom E=mc2, Albert Ajnštajn izgradio je most između energije i mase, dva koncepta koja su ranije bila Odvojeni Svetovi. Kosmolog Megi Ejdrin-Pokok (Maggie Aderin-Pocock), ju je prozvala ’najlepšom’. “Zašto je tako lepa? Jer je u pitanju sasvim životna stvar. Od ove formule pa ubuduće,  energija će imati masu, a masa se može pretvoriti u energiju. Ova četiri simbola karakterišu čitav Svet i Svemir. Teško je zamisliti kraću formulu koja poseduje više snage”, kaže Robbert Dijkgraaf, direktor Instituta za napredne studije u Prinstonu, gde je, uzgred, i Ajnštajn takođe predavao, i to među prvima u svojoj oblasti.022

Ajnštajn je bio, takođe, možda i najveći pobornik lepote i estetike matematičkih i fizičkih formula. Večito u sukobu s „kvantašima“, tj pobornicima kvantne fizike, jedan od njegovih argumenata kojeg je neprekidno ponavljao je i taj da „formule kvantnih fizičara nisu lepe“. A to je već po sebi, po njegovom ubeđenju, bio indikator njihove netačnosti (ispostavilo se da nije bio u pravu).

Jedan od razloga za postojanje gotovo objektivne lepote u matematici jeste i to što koristimo reč „lepo“ kako bismo takođe ukazali na njenu sirovu snagu u ideju. Jednačine ili rezultate proizašle iz matematike koji se smatraju lepim, skoro su kao napisane pesme. Snaga svake varijable (tj. promenljive) nešto je što je deo iskustva. Ukoliko se osvrnemo na matematiku ili, recimo, na prirodu, one se po pravilu opisuju sa samo nekoliko simbola – a upravo im to daje grandiozni osećaj elegancije i lepote”, dodaje Dijkgraaf. “Drugi element je osećaj da njena lepota odražava stvarnost. Ona je odraz osećaja za red i uređenost koji su deo zakona prirode. “

017Moć jedne jednačine da poveže domene matematike koji nam izgledaju potpuno neuklopivo i nepovezano je prilično česta pojava. Profesor Markus Du Sotoj (Marcus Du Sautoy) koji na Univerzitetu Oksford predaje matematiku gaji veliki sentiment za Rimanovu formulu koja mu je „slaba tačka“. Bernhard Riman (Bernhard Riemann) je 1859. (iste godine kada je Čarls Darvin zapanjio svet svojom knjigom „O poreklu vrsta“, u kojoj je izložio svoju teoriju evolucije), objavio formulu koja otkriva koliko prostih brojeva (tzv. prim-brojeva ili primova) postoji unutar skupa prirodnih brojeva, gde su primovi celi brojevi deljivi samo sa samim sobom i jedinicom (kao što su 2 , 3, 5, 7 i 11). Dok jedna strana jednačine opisuje proste brojeve, druga je kontrolisana nulom (tj. nulama).004“Ova formula pretvara ove nedeljive proste brojeve, u nešto sasvim drugo”, kaže Du Sotoj. “S jedne strane, imate te nedeljive proste brojeve i onda te Riman vodi na taj svoj put koji vas odvodi negde potpuno neočekivano, do onih stvari koje danas zovemo Rimanovim nulama. Svaka od ovih nula dovodi do zapisa – i to je, onda, kombinacija svih ovih zapisa zajedno, koja nam kazuje kako su prosti sa druge strane raspoređeni po svim brojevima “.

015Pre više od 2.000 godina, drevni grčki matematičar Euklid rešio je numeričku zagonetku na tako divan način da i danas izmamljuje osmeh divljenja – recimo matematičarki Viki Nil, i to svaki put kad joj ova Euklidova padne na pamet. “Kada mislim o lepoti u matematici, moje prve misli nisu vezane za jednačine. Za mene je to mnogo više od prostog argumenta; to je način razmišljanja, specifičan, jedinstveni način na koji se neki dokaz izvodi”, dodaje ona.

Euklid je dokazao da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Kako je to postigao? Počeo je tako što je zamišljao univerzum u kojem količina prostih brojeva nije beskonačna (kada bi, dakle, postojala dovoljno velika tabla, oni bi svi mogli da se popišu kredom).

On se, potom, upitao šta bi se desilo kada bi se svi ovi prosti brojevi zajedno pomnožili: 2x3x5, i tako dalje, sve do kraja liste, a rezultat bi pridodao na broj 1. Ovaj ogroman novi broj nam daje odgovor. Ili je on već sam po sebi prost broj – pa bi tako i inicijalna lista prostih brojeva bila nepotpuna – ili je deljiv sa manjim prostim brojem. Ali, ukoliko Euklidov broj podelimo bilo kojim primom koji je zabeležen na ogromnoj-a-konačnoj-tabli, uvek bi preostala jedinica. Ovaj broj nije deljiv s bilo kojim primom s liste. “Ispostavilo se da u ovoj kalulaciji stvar doterujete do apsurda, kontradikcije”, kaže Nilova. Dakle, početna pretpostavka – da je količina prostih brojeva konačna – mora biti pogrešna.

“Ovaj je dokaz za mene stvarno predivan.Potrebno je samo malko više porazmisliti kako biste se udubili u suštinu, ali, zapravo, ne podrazumeva niti iziskuje godine proučavanja nekih teških matematičkih koncepata. Iznenađujuće je da možeš da dokažeš nešto tako teško na ovako elegantan način”, dodaje Nilova.

008

Evo tog briljantnog Euklidovog rezonovanja samo na blago „zafelširan“ način:

Uzmimo, na primer, da smo se uzjogunili i tvrdimo da su 3 i 5 “jedini prosti brojevi”. OK, kaže Euklid, pomnožimo onda 3 i 5 i rezultatu dodajmo jedinicu, tj., 3×5+1=16.  Ha, broj 16 nije deljiv sa 3 ili 5, ali je deljiv sa 2, a 2 nije deljiv nijednim drugim brojem osim samim sobom, dakle prost je. Sada moramo popustiti i priznati da naš novi skup prostih brojeva mora da sadrži i dvojku, tj. prosti brojevi su sada 2, 3 i 5.

Odlično, pomnožimo sada sve te proste brojeve i dodajmo rezultatu jedinicu, tj., 2x3x5+1=31. Aha, 31 je broj koji je deljiv jedino samim sobom, prema tome prost je. Naš skup “jedinih prostih brojeva” mora da uključi i broj 31, tj. on sada sadrži brojeve 2, 3, 5 i 31. Ovakvim postupkom možemo od bilo kog konačnog skupa prostih brojeva generisati nove i nove proste brojeve i to tako da je, množenjem “svih prostih brojeva” i dodavanjem jedinice, dobijen ili novi prost broj (kao što je broj 31 u gornjem primeru) ili složen broj koji je deljiv nekim prostim brojem koji se ne nalazi u našem polaznom skupu (kao što je bio slučaj sa brojem 2 u gornjem primeru). I tako do beskonačnosti. Dakle, prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Koliko god daleko išli po brojnoj osi, uveć ćemo naići na neki prost broj. Phew.

19Da pogledamo ponovo našu listu prostih brojeva manjih od sto: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97… Primetimo odmah da prostih brojeva manjih od 100 ima manje nego prirodnih brojeva  manjih od 100,  te da se “razređuju” na neki način:  recimo, u dekadi od 10 do 20 ima ih četiri (11, 13, 17, 19), dok ih u dekadi od 20 do 30 ima samo dva (23 i 29), itd. Bez obzira što su prosti brojevi “ređi” od prirodnih brojeva – ili od parnih brojeva, svejedno – njih ipak ima podjednako “beskonačno mnogo” koliko i prirodnih brojeva.

Ipak, postoji beskonačno i postoji beskonačno. Na primer stepena broja 2 ima takođe beskonačno mnogo na brojnoj osi, ali između brojeva 1 i 1000 njih ima tačno deset: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Prostih brojeva u istom intervalu ima 72 komada.

U teoriji brojeva, i u matematici uopšte, prosti brojevi su izuzetno značajni zbog sledeće ognjene teoreme: Svaki prirodan broj može da se na jedinstven način napiše kao proizvod prostih brojeva. Fundamentalna stvar. Imam bilo koji broj i on može da se jednoznačno razloži na proizvod svojih faktora. Na primer, 15=3×5, ili 60=2x2x3x5, itd.

08

Iza estetski izuzetno prijatnih tj lepih procesa nalazi se izuzetno lepa matematika. Pa, barem ponekad, ako ništa drugo. Hana Fraj (Hannah Fry), predavačica egzotičnog predmeta pod nazivom „matematika gradova“ na UCL godinama je kvarila vid zureći u Navje-Stouksove jednačine (Navier-Stokes). “One su jedna posebna matematička rečenica koja je u stanju da opiše čudesno lepo i raznoliko ponašanje gotovo svih tečnosti na planeti Zemlji”, kaže ona. Shvatanjem ove formule, možemo potom razumeti ponašanje svih fluida, svih elemenata u tečnom agregatnom stanju: protok krvi u telu, kako brodovi klize kroz vodu, ili kako da napravimo sjajne čokoladne prelive.

17U svom eseju iz 1963. godine, Dirak je uzdigao lepotu sa estetskog nivoa na nešto daleko više (ili, možda, dublje): na put ka Istini. “Daleko je važnije imati lepotu u jednoj jednačini nego je primeniti u eksperimentu”, napisao je on, nastavljajući: “Čini se da, ako se deluje i razmišlja sa stanovišta kreiranja lepote u jednačinama, i ukoliko se sluša sopstveni unutarnji glas, onda tu sigurno postoji linija napretka.” Na prvi pogled šokantna izjava, Dirak je njom definisao ono što je danas postalo uobičajeno matematičko razmišljanje: kada neka lepa jednačina izgleda u suprotnosti sa prirodom, krivica leži ne na matematici već na njenoj primeni na pogrešni aspekt prirode.

“Istina i lepota su usko povezani, ali nisu isto”, kaže Atijah. “Nikada niste sigurni da li imate istinu „u rukavu“. Sve što možemo da učinimo je da neprekidno težimo ka sve boljim i savršenijim istinama, a svetlost koja vas na tom putu vodi je – lepota. Lepota je baklja koju držite pred sobom i pratite stazu koju ona osvetljava, u uverenju da će vas napokon dovesti do istine.”

Nešto što je blisko veri u matematičkoj lepoti je fizičare konačno dovelo do osmišljavanja dva najzanimljivija opisa stvarnosti: prvi je supersimetrija, a drugi teorija struna (a potom na nju nadograđena i teorija superstruna). U Supersimetričnom svemiru, svaki poznati tip čestice ima svog težeg, nevidljivog blizanca. Po teoriji struna, realnost ima 10 dimenzija, ali je njih šest „sklupčano“ tako čvrsto da su (za sada) skriveni od nas i naše tehnologije. Matematika koja stoji iza obe teorije se veoma često opisuje kao lepa, ali uopšte nije jasno da li je to tačno – u svakom slučaju, ima mnogo onih koji misle da ove teorije poseduju ogromnu matematičku lepotu.006Ovde matematičare neprekidno vreba opasnost. Lepota je nepouzdan vodič. “Možete, bukvalno, biti zavedeni nečim što nije tačno. I to je rizik koji preuzimate”, kaže Dijkgraaf koji radi u institutu čiji je moto “Istina i lepota”, dok su na grbu iscrtane jedna naga i jedna obučena žena. “Ponekad pomislim da fizičari, kao nekada Odisej, moraju da se privežu za brodski jarbol kako ih ne bi zavele zavodljive sirene matematike.”

Može biti da su matematičari i naučnici još jedini koji bez oklevanja koriste reč “lepo”. Nju retko koriste i književni, umetnički ili muzički kritičari, koji možda strahuju da će zvučati previše „prostosrdačno“, odnosno da će ovaj pojam biti shvaćen kao površan, ili, čak, kao – kič.

“Veoma sam ponosan što je u matematici i nauci još uvek prisutan koncept lepote. Mislim da je to neverovatno važan koncept u našim životima”, kaže Dijkgraaf. “Osećaj lepote koji doživljavamo u matematici i nauci je višedimenzionalni osećaj lepote. Ne razmišljamo da li je u bilo kakvom sukobu s onim što je duboko, ili zanimljivo, ili moćno, ili značajno i sa smislom. Za matematičara, sve je obuhvaćeno ovom jednom rečju: lepota.”

Gardijan

Liderstvo u 3 reči: Lideri menjaju stvari

LeadersPromena, međutim, nikada nije laka, piše Stjuart Krejner (Stuart Crainer) sa Londonske škole za ekonomiju (London School of Economics). On je proučavao dinamiku koja stoji iza uspešnih pokušaja promena

‘Liderstvo proizvodi promenu. To je njegova primarna funkcija, ‘primećuje Džon Koter (John Kotter) sa Harvardske poslovne škole (Harvard Business School). Bivši izvršni direktor i autor Leri Bosidi (Larry Bossidy) kaže ovako: ” Posao lidera je da pomogne da svi vide da poslovna platforma gori, bilo da je plamen očigledan ili ne. Proces promena počinje kada ljudi odluče da plamen shvate ozbiljno i upravljaju na osnovu činjenica, a to znači brutalno razumevanje stvarnosti. Treba da otkrijemo šta je realnost, tako da znate šta treba promeniti.”

Lideri su retko regrutovani da bi održavali status kvo. Kada jesu, to je često recept za katastrofu. Verovatno najbolji primer za to je zapošljavanje Dejvida Mojsa (David Moyes) da nastavi stopama ser Aleksa Fergusona (Alex Ferguson) koji je imao izuzetno uspešnu karijeru kao menadžer fudbalskog kluba Mančester Junajted (Manchester United). Mojs je bio kandidat kontinuiteta, neko po liku nalik na Fergusona – namršten, škotskog temperamenta, žestoko predan zadatku i intenzivan. Od trenutka kada je preuzeo posao, Mojs je uhvaćen na ničijoj zemlji u pokušaju da stavi svoju pečat na klub uz održavanje stvari onakvima kakve su bile. Prošlost je pobedila.

Promene su sastavni deo opisa posla bilo kojeg lidera, ali su pune teških momenata. Usko smo sarađivali sa menadžerima koji nisu uspeli da ostanu na kursu promena. Svi su bili pametni, ambiciozni, vredni i očigledni izbori za visoka rukovodeća radna mesta.

Prvi je postao direktor jedne velike profesionalne organizacije. Želeo je da tu instituciju prevede u dvadeset prvi vek i razvio pametnu strategiju za tako nešto. Svaki put kada smo posetili njegovu kancelariju, on bi prošao kroz prezentaciju svoje strategije. U tome je bio veoma ubedljiv. Ali to je, nažalost, bila samo još jedna PowerPoint prezentacija; u stvarnosti, on je potpuno potcenio nespremnost ljudi da dobrovoljno prihvate promenu. Koliko god jedna strategija bila briljantna, ljudima u organizaciji je potrebno vreme da nauče da veruju u novog generalnog direktora i da shvate strategiju kao mogućnost, a ne pretnju. Direktor je nastavljao bez obaziranja, iritirao ljude, pokušavajući da ubrza stvari i onda je ostajao odmahujući glavom i ništa se nije događalo.

Uspeo je da se održi šest meseci.

09U drugoj firmi radili smo sa direktorom koji je bio izuzetno impresivan. Znao je organizaciju iznutra, radio širom sveta za nju i izgledao kao u potpunosti dopadljiva ličnost. Dotle je sve izgledalo dobro. On je tada izneo sličnu ambicioznu strategiju i počeo da je primenjuje. Takođe je napisao knjigu o tome šta znači biti direktor. Čini nam se da ga ona nije učinila omiljenim među ljudima. Opet se, da iskoristimo pomešanih nekoliko metafora, perje letelo a on je popio korporativnu prašinu.

07Promena nikada nije laka. Nikada. Istraživanja vrlo često pominju veoma visoku stopu neuspeha skopčanu sa pokušajima promena. I, nema naznaka da stopa neuspeha opada. Ali, istina je da je promena ono što lideri rade. Zaista, rukovodstvo bi moglo biti jezgrovito definisano kao katalizator promena. Liderstvo omogućava promene i menjanje stvari je u središtu svakog razumevanja rukovođenja. Dok se menadžment bavi maksimiziranjem efikasnosti onoga što postoji, rukovodstvo se bavi time da donese snažne skokove u načinima na koje preduzeće posluje tako što će menjati ono za šta se mislilo da je urađeno.

12Harvardski profesor Rouzbet Mos Kanter (Rosabeth Moss Kanter) je proučavala lidere koji uspevaju da se nose sa promenama – koje je označila ‘majstorima promene“ – i takođe je do detalja istraživala ono liderstvo koje je dovodilo do promena. Kanter kaže da je “najvažnija stvar koju lider može doneti organizaciji u fazi promena “strast, predanost, i poverenje u druge”.

Na osnovu studija nekoliko preokreta, ona ukazuje na to da su informacije i odnosi ključni elementi. Lider preokreta mora olakšati psihološku promenu stavova i ponašanja pre nego što organizacioni oporavak može da započne. Ona identifikuje četiri osnovne komponente u procesu preokreta: promovisanje 1. dijaloga, stvaranje 2. poštovanja, što bi olakšalo 3. saradnju i inspirisalo 4. inicijativu.

11Kanter takođe napominje da se dobar lider za unošenje promena uvek sectu da nagradi zaslužne, prepozna i pozdravi dostignuća ljudi uključenih u proces transformacije. Neka svako bude heroj, kaže ona. Jer, kako ističe, “ne postoji ograničenje u tome koliko ljudima možete priznavati njihov doprinos, i ono je vrlo često besplatno. Priznanje donosi ciklusu promena njegov logični zaključak, ali i motiviše ljude da ponovo pokušaju da učestvuju u promenama. “Priznavanje (tuđeg učešća u uspehu) može biti veliki ili mali problem zavisno od toga šta od njega napravite. Izvršni trener Maršal Goldsmit (Marshall Goldsmith), koji obučava buduće lidere, na jednostavan način objašnjava ovu poentu – ako kažete hvala to je verovatno najefikasniji oblik priznanja. Gotovo je neverovatno koliko su niska očekivanja u tom pogledu [pogledajte samo Hotornovo (Hawthorne) istraživanje iz 1930. godine, gde je proizvodnja započeta jednostavno zato što su zaposleni smatrali da njihovi supervizori obraćaju pažnju na njihove potrebe]. Priznanje je ulazna tačka.

Kako Rosbet Mos Kanter sugeriše, sprovođenje promena nikada ne može biti jednostavno nasilno gonjenje ljudi u određenom pravcu. Ljudi moraju da žele da idu u tom pravcu; oni moraju da žele da se menjaju.

20To je ono što Majkl Džeret (Michael Jarrett) profesor na INSEAD, naziva “spremnošću za promene”. ‘Spremnost za promene se odnosi na filozofski nivo – biti otvoren i spreman da prihvatiš promenu; ali to se takođe odnosi i na praktični nivo”, kaže on. ‘Spremnost se odnosi na one organizacije koje su razvile niz osnovnih dinamičkih i unutarnjih sposobnosti koje im omogućavaju da se prilagode kada se suoče sa spoljnim zahtevima. To je preteča onih organizacija koje stiču stratešku agilnost. U suštini, uspešna promena je funkcija onoga koliko dobro unutrašnje mogućnosti organizacije – njihovi kapaciteti za upravljanje, kultura, procesi, resursi i ljudi – odgovaraju zahtevima njihovog spoljnog okruženja, tržišta.”

21Promena je proces međusobnog uklapanja. Lider mora da ima apetit za promene. Organizacija treba da bude spremna za promene – a, ukoliko nije, lider mora da neguje svoju spremnost za promene. I organizacija mora da se menja na pravi način kako bi zadovoljila zahteve i potrebe svog vremena, svog tržišta, svog realnog okruženja. Da li si ste spremni?

(Stjuart Krejner je koosnivač Thinkers50. Njegova najnovija knjiga je „Na šta mislimo kada govorimo o liderstvu“ (What We Mean When We Talk About Leadership) u koautorstvu sa Desom Derlouom (Des Dearlove), Infinite Ideas 2015)

 

London School of Economics