Elfi: Algoritmi, arhitektura i savršen zvuk


Savršen zvuk doprinosi savršenstvu muzike. Evo kako je nastao jedan savršen muzički prostor.

Najinteresantnija stvar vezana za novootvorenu koncertnu dvoranu po projektu švajcarskih projektanata Hercoga i De Meurona (jan. 2017), kako već kažu najboljem koncertnom prostoru na svetu, „Elbfilharmoniji“ (nem. Elbphilharmonie, „Filharmonija Elbe“), nije njena talasasta fasada koja se nadvija nad Hamburgom, na reci Elbe, a izniklom na gradskom poluostrvu Großer Grasbrook; nije ni nežno zakrivljeni lift u podnožju predvorja, koji vas sprovodi u utrobu čudesnog arhitektonskog pejzaža ove dvojice Švajcaraca, enterijera u kojem stepenice podsećaju na hipnotičke vizuelne petlje njihovog drevnog zemljaka, Markusa Kornelijusa Ešera, koje vas vode naviše kroz zdanje čija je cena, neki kažu, bila gotovo 900 miliona evra (870 miliona, dok zvanična inicijalna suma nije bila ni četvrtina konačne: 200 miliona evra).

Iako je hamburška filharmonijska koncert-hala kako kažu zvaničnici, koštala nešto preko 700 miliona evra (702 miliona evra, ili 843 miliona dolara), ovo nije, po svemu sudeći, bila bačena investicija: objekat je ispunjen zapanjujućim arhitektonskim draguljima, a njegova najzanimljivija karakteristika je centralni auditorijum: sjajna „pećina“ boje slonovače izgrađena od 10.000 jedinstvenih akustičnih panela postavljenih na tavanicu, zidove i balustrade. Sala izgleda „organski“, tj, elementi u njoj se izvanredno harmonično povezuju i uklapaju, predstavljajući sastavne, neizostavne delove celine: puna je pregiba, prelaza i zaobljenih formi koje ciljano podsećaju na „slapove“ što se kroz „žubor talasa prelivaju preko hridi“, a sve zajedno deluje kao monohromatski koralni greben. Sprovođenje ove grandiozne ideje u delo bio je, takođe, nesvakidašnji tehnološki podvig.

Auditorijum – najveća od tri koncertne dvorane Elfija (stanovici Hamburga iz milošte su mu dali nadimak Elphi) – proizvod je „parametarskog dizajna“, procesa u kojem dizajneri koriste matematičke algoritme kako bi razvili formu objekta. Algoritmi su već bili od neprocenjive pomoći pri dizajniranju mostova, delova za motocikle i motorna vozila, fontova, i – čak – stolica. U slučaju Elbfilharmonije, bazelski projektanti Žak Hercog i De Meuron koristili algoritme kako bi proizveli jedinstvene forme za za svaku od 10.000 akustičkih ploča od gipsanih vlakana postavljenih na zidove, međusobno ih povezujući tako da podsećaju na komadiće džinovske, talasaste slagalice.

Već na prvi pogled na glavnu muzičku salu Elfija proizvodi kod posmatrača zapanjujući efekat. Deset hiljada akustičkih panela izvanredno je spojeno u sjajnu, blistavo belu oplatu, unutar koje je postavljeno samo 2.150 sedišta i 1.000 sijalica od ručno tj zanatski duvanog stakla. Ali, lepota je bila samo deo nauma arhitekata i akustičara onda kada su počeli da osmišljavaju i projektuju ovo zdanje pre više od 13 godina. “Svaki panel ima svoju funkciju”, kaže Bendžamin Koren (Benjamin Koren), osnivač studija „One to One“ koji je radio sa Herzogom i De Meuronom u dizajniranju i izradi panela.

Na 10.000 panela utisnuto je milion “ćelija” – sitnih, „usečenih zareza“ koji podsećaju na ulegnuća u travi nastalih udarcem štapa za golf ili „nalik morskoj školjki iz koje je neko izrezao parče unutrašnjosti“. Ove ćelije, čije se dimenzije kreću od četiri do 16 centimetara, dizajnirane su da oblikuju zvuk unutar auditorijuma. Kako Koren to objašnjava, kada zvučni talasi udare o panel, neujednačena površina ih apsorbuje ili raspršuje. Nijedan pojedinačni panel ne apsorbuje niti širi dalje zvučne talase, ali svi oni u kombinaciji zajedno proizvode balansiranu reverberaciju tj odjek ili rezonancu preko čitavog auditorijuma. Ova tehnika koristi se već vekovima jedna od (najpoznatijih koncert-sala izgrađenih po ovom principu je bečki Musikverein, čija bogato ukrašeni neoklasični detalji eneterijera stvaraju isti difuzioni tj raspršujući efekat). Elbfilharmonija, međutim, „razbija“ tj. raspršuje zvuk na jedan sasvim nov, vizuelno izuzetno privlačan način.

Da bi dizajnirali 10.000 jedinstvenih akustičnih panela, Herzog i De Meuron radili su sa čuvenim akustičarom Jasuhisom Tojotom (Yasuhisa Toyota), koji je koncipirao optimalnu „zvučnu mapu“ auditorijuma. Na osnovu geometrije koncertne prostorije, Tojota je utvrdio da bi određeni paneli, poput onih koji se nalaze na zadnjem zidu auditorijuma, trebalo da imaju dublje, veće žlebove za apsorpciju eha. Druge površine koncertne dvorane kao i plafonske površine iza reflektora i gornji delovi balustrada zahtevali su manje formate akustičkih panela. U međuvremenu, arhitekti su imali neke svoje želje: Akustička oplata morala je da bude kozinstentno prisutna u čitavom eneterisjeru dvorane, bez obzira na akustičke zahteve i potrebe; morala je, takođe, da bude izuzetne lepote; i – poslednje ali ne i najmanje bitno – morala je da bude u skladu sa onima koji su u publici tj. bilo koji žlebovi i useci panela koji su bili nadohvat ruke trebalo je da na dodir budu meki, za razliku od onih panela koje po svojoj poziciji u sali nije bilo moguće dotaći.

Upravljajući se ovim projektantskim zahtevima kao neizostavnim parametrima, Koren je razvio algoritam koji je proizveo 10.000 panela – svaki od njih jedinstvenog oblika i „šare“, mapiran tako da ispuni vrhunske estetske i akustičke specifikacije. “Upravo u ovom projektu izražena je sva snaga tzv. parametarskog dizajna”, kaže on. “Kada je sve na svom mestu, mogu da počnem svoju kreativnu igru i kreiram milion ćelija, svaku jedinstvenu i različitu od one druge; sve su zasnovane na ovim parametrima. I, dok imam stoprocentnu kontrolu u procesu uspostavljanja algoritma koji će određivati način kreiranja ćelija, jednom kada je algoritam završen više nemam kontrolu: algoritam odrađuje sve ćelije.”

Nekim dizajnerima i projektantima se čini kako su popustlivost, kompromis i „prepuštanje višoj sili“ jedna zastrašujuća perspektiva. Koren, međutim, ovakvu vrstu ustupanja prostora na uštrb nepogrešivog i savršeno preciznog algoritma smatra ne samo plodnim već i praktičnim. “Bilo bi suludo da sve ovo radite ručno”, kaže on. A i krajnji ishod bi, takođe, mogao izgledati čak i manje originalno da su svaki panel i svaka ćelija na njemu rađeni i usecani „rukom“.

Dizajneri rutinski hvale sve ove nove i iznenađujuće forme koje proizilaze iz „saradnje“ mozgova projektanata sa algoritmima. Složeni, funkcionalni i lepi paneli Elbfilharmonije samo su najnovije svedočanstvo njihovog potencijala.

Wired

Fibonačijevi magični brojevi


10

Leonardo Bigollo (Leonardo Pisano ili de Piza; Leonardo Pizanski, Leonardo od Pize) bio je matematičar koji je živeo u Italiji na prelazu između 12. i 13. stoleća (1170-1240), ličnost koja je prva okrenula leđa sistemu rimskih brojeva koji su u njegovo vreme prevladavali. Leonardo je u istoriji bio poznat po nadimku Fibonacci, što je derivat dve reči (fillius + bonnacci, što na latinskom i italijanskom u miksu dobija značenje “sin dobronamernog”. Očigledno da je Leonardov otac Guljelmo (Guglielmo) bio poznat kao dobra osoba i znameniti trgovac koji je često putovao po Severnoj Africi. Tamo je, tokom svojih putovanja s ocem, njegov sin Leonardo i otkrio magiju arapskih brojeva i matematike.

24Hindu-arapski sistem brojanja prešao je iz Indije u Persiju a potom na Bliski Istok i u Severnu Afriku, odakle je „doskočio“ i na evropsko tle, pre svega zahvaljujući između ostalih i Fibonačiju. Pizanova ideja korišćenja arapskih brojeva sadržavala je mogućnost rada sa celim brojevima ili razlomcima, deljenje brojeva na proste činioce, kvadratni koren, itd. Uprkos brojnim prednostima i velikoj praktičnosti, usvojiti ovaj sistem nije bilo lako. Krstaški ratovi protiv islama koji su se u to vreme odigravali stavljali su pod sumnju što je bilo označeno kao “arapsko”. Arapski brojevi su 1299. u Firenci čak bili i zabranjeni, uz obrazloženje da ih je „lakše falsifikovati nego rimske brojeve”.

Zahvaljujući očevom poslu, Leonardu Fibonačiju je pružena prilika da se susreće s velikim matematičarima koji su se nalazili izvan tzv. „istočnog kruga“ (Egipat, Sirija, Alžir, Grčka, itd), i s kojima je njegov otac svakodnevno dolazio u kontakt tokom dugih putovanja kroz arapske zemlje i Mediteran. Kasnije se vratio u Italiju, a kada mu je bilo 32 godine objavio je knjigu Liber Abaci (1202), u kojoj je objasnio značaj arapskog sistema numerisanja i njihovu primenu na najrazličitije svakodnevne situacije tokom trgovine i trgovačkog računanja. Ovim je, zapravo, želeo da dokaže da bi Evropljanima bilo nepojamno praktičnije ukoliko bi počeli da se koriste arapskim a ne rimskim numeričkim sistemom: Arapski sistem bio je nenadmašan u radu sa stranim valutama, vođenju trgovačkih knjiga (tj današnjem računovodstvu), pri merenju i pretvaranju težinskih mera, itd. Četvrt veka kasnije (1227), objavio je drugo izdanje iste knjige koja je danas postala referentna verzija “Liber abaćija” jer ručno pisane kopije prvog izdanja iz 1202. ne postoje (naslov znači “Knjiga računanja”, mada je neki pogrešno prevode kao “Knjiga abakusa”; “abaci” ili “abacci” je talijanska reč za arapsku računaljku koja je u to vreme bila pojam za računske operacije. Danas postoji samo II izdanje iz 1227. dok su primerci prvog izdanja u celosti izgubljeni).

22

Federiko Drugi Hohenštaufenski (Federico II de Hohenstaufen, 1194-1250) bio je Sveti rimski car u trenutku kada je doznao za Fibonačijev rad, sve to zahvaljujući korespondenciji koju je po svom povratku u Italiju ovaj matematičar održavao s nekim od članova carevog Suda. Među njima je bio i Majkl Skot (Michael Scotus), astrolog kojem se Pizano divio i kome je posvetio drugo izdanje svoje i danas poznate knjige. Johan Palermski (Johnanes of Palermo) je pred tim Sudom postavio Fibonačiju jedan matematički problem koji će mu zauvek urezati mesto u istoriji.

Čovek stavi dva zeca u prostor okružen zidom sa svih strana. Koliko je parova zečeva moguće proizvesti iz ovog para za godinu dana, ako svakog meseca svaki par novih zečeva na svet donese još jedan par, koji se može reprodukovati svakog drugog meseca?

Fibonači je prihvatio izazov; rešio je taj problem, a rešenje objavio u radu pod nazivom “Flos” (1225). Tom prilikom razvio je numerički niz koji će u istoriji biti usvojen kao Fibonačijev niz. Ovaj niz brojeva počinje sa 0 i 1, a odatle je svaki element – ili Fibonačijev broj – zbir prethodna dva.

30

Fibonačijev niz predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule, a prva dva člana su mu 0 i 1.

To jest, nakon dve početne vrednosti, svaki sledeći broj je zbir dvaju prethodnih. Prvi Fibonačijevi brojevi takođe su označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , pa su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

01Fibonačijevi brojevi, a u stvari celokupan matematički princip – u zapadnoj matematici predstavljeni kao konstanta fi (∅), i to po čuvenom vajaru Fidiji koji se u izgradnji grčkog Panteona i skulptura ovog hrama koje su se u koristio proporcijom 1 : 1.6. Dakle, konstanta „fi“ nije dobila svoj naziv po Fibonačiju. Uz to, treba reći i da je dokazano kako je ova konstanta bila daleko ranije opisana, i to u Indiji.

I tako je Leonardo uspešno predstavio reproduktivni ciklus kod zečeva, iako je to veštački model u slučaju ovih životinja (a biološki gledano, to i nije sasvim tačno), savršeno se po tome uklapajući sa reproduktivnim modelom pčela. U košnici, samo je kraljica ta koja ima moć reprodukcije: Ona je jedina koja polaže jaja.31

Ako su oplođene, rađaju se ženke, sa 50% genetskog materijala kojeg pruža majka („Kraljica“), i sa drugih 50% koji potiču s očeve strane. Trutovi ili muške pčele nastaju od neoplođenih jaja. Zbog toga,ženske pčele radilice imaju dva roditelja, dok trutovi imati jednog: 100% njihove genetske informacije obezbeđuje majka.

001Pčele nisu jedini izuzetak, a ovi brojevi, kao matematički princip, stoje iza mnogovrsnih fenomena prirode: Fibonačijev niz nalazi se u rasporedu cvetnih latica, u nastanku uragana itd.

Fibonačijev niz se često nazivaju i “Božanskom razmerom”. Uzmemo li jedan deo Fibonačijevog niza (2, 3, 5, 8), i podelimo li svaki sledeći broj s njemu prethodnim, dobićemo uvek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približavaju broju fi.

Sledi nekoliko primera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

U pčelinjoj zajednici, košnici, uvek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvek bi dobili broj fi.

14

Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bismo izračunali odnos svakog spiralnog segmenta i njegovih razmera u odnosu prema narednom segmentu, dobili bismo broj fi.

Seme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promera rotacije je broj fi.

Izmerimo li čovečju dužinu od vrha glave do poda, a zatim to podelimo s dužinom od pupka do poda – dobijamo broj fi.

Kako je to moguće? Jesu li ovi slučajevi plod „abrakadabra“ kombinacije u matematici? Misterija koja leži iza ovog niza brojeva kojem je, izgleda, predodređeno da bude upisan u matematičke osnove svega što nas okružuje (ili barem u mnogim stvarima koje postoje oko nas) uvek nanovo fasciniraju stručnjake iz raznih oblasti nauke, a tu su čak i publikacije specijalizovane za pronalaženje novih oblasti i problema povezanih sa ovim nizom i konstantom fi.

Čak i nekoliko vekova kasnije, Johan Kepler (1571-1630) je bio trajno fasciniran istraživanjima ovog niza da bi, stolećima kasnije, razvio koncept koji je u istoriju matematike ušao kao “Božanska konstanta”, zapisana u njegovoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” (1611).

23Ali koliko “magije” ima u čuvenom Fibonačijevom nizu? U kom trenutku je Pizanac ovaj princip opisao kao svoju „ekskluzivu“, kao i proporcije među brojevima koje ih dovode u međusobni odnos? Istorija je ostavila tragove o prethodnim referencama koje se odnose na njegovu kasniju formulu, kao što je slučaj s nekolikim indijskim matematičarima: Gopalom (1135) i Hemačandrom (1150), koji su ovaj „Božanski odnos“ već pominjali u svojim spisima – i to nekoliko decenija pre nego što je Fibonači bio rođen.

Kepler je otkrio ovaj redosled koristeći se odnosom koji već postoji među postojećim uzastopnim članovima niza. Dva je prema broju 3 je ono što je 3 za 5, a petica za osmicu, i tako dalje sa svim elementima. Prema tome, postoji udeo-odnos-proporcija (Božanska konstanta: proporcija koja je zdušno korišćena u renesansnoj umetnosti kao „Zlatni presek“); ovaj niz se stalno održava tokom deljenja brojeva: bitno je da je proporcija izražena konstantom „fi“ ista u svakom slučaju, bez obzira da li je zdanje građeno po principima Zlatnog preseka gigantska ili je minijaturnih razmera. Ova proporcija je predstavljena brojem fi (u čast grčkog vajara Fidije, da ponovimo – a ne Fibonačija!):  φ = 1.618.

16Zlatni presek se javlja kao proporcija rastućih oblika u prirodi i vekovima je privlačio pažnju matematičara i umetnika. Odnos Zlatnog preseka se dobija ako se jedna duž podeli na takav način da je odnos većeg dela prema celom isti kao i odnos manjeg dela prema većem: 0.6180339887…

Neprekidnu podelu zlatnog preseka zapažamo u samoj prirodi na mnoštvu biljaka, koliko u opštem sklopu toliko i u njihovim delovima, cvetovima, listovima (npr ljutić, rastavić, itd) a u zapanjujućem savršenstvu u ljušturama morskih puževa kao što je npr Nautilus). Zlatni presek se jasno manifestuje u sklopu ljudskog tela. Proporcionisanje čovečje figure sastoji se u što tačnijoj konstrukciji Zlatnog preseka u neprekidnom odmeravanju minora na majoru, kao i u primeni ovako dobijenih mera na odgovarajuće delove i dimenzije tela.

Danas je opšte prihvaćeno mišljenje da je grčki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepšu proporciju za najprikladnije oblike arhitekture. Proporcija Zlatnog preseka je traženi zakon lepote koji se nalazi u skladnosti i srazmernosti između pojedinih delova kao i delova u celini. Kroz istoriju je pravougaonik čiji je odnos među susednim stranicama u odnosu Φ=1.618033988749895… smatran najprijatnijim za oči. Grčki vajar Fidija izgradio je Partenon i mnoge figure na njemu u proporciji Zlatnog preseka.

Zlatni presek primenjen je na najlepšim grčkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima.

21Platon je pisao “da se dve stvari na lep način sjedine bez nečeg trećeg. Između njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se može najbolje izvršiti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja onaj srednji odnosi prema najmanjem kao najveći prema srednjem i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najvećem, onda će poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nužno isto, a budući da je isto čini jedno jedino.”

Opis pristaje, kao što se uočava, pojmu zlatnog preseka. Zlatni presek, kao proporcijski ili sistem srazmera, korišćen je u praksi i na istoku i na zapadu, nekada tačno a ponekad s izvesnim odstupanjem. Keopsova piramida, gotske katedrale i mnoge druge poznate građevine sadrže u sebi proporciju Zlatnog preseka.

I ovde se priča o Fibonačiju završava – da bi se opet, u beskrajnom nizu, potvrđivala i trajala kao Zakon Prirode.

28U svojoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” („O šestougaonoj pahulji“, 1611.) Kepler je definisao značaj ove proporcije i niza koji se, prema njegovim rečima, na sličan način razvija u reproduktivnom procesu i koji se može uspešno održavati. Ideja Keplera o biološkom auto-replikativnom (tj. samoobnavljajućem, ili samooplođujućem) procesu koji se odvija po Fibonačijevom nizu je do ne tako davno ignorisan od strane biologa, kada je raspored listova filotaksisa (Phyllotaxis) na stablu i naučno učvrstio ovu teoriju. .

Međutim, kako god da je došlo do ovog naučnog uvida, njegovo otkriće numeričkog niza – kojim je uzdigao ideju o Božanskim proporcijama – bila je više nego dovoljna za Fibonačijevu besmrtnost u „reci vremena“, baš kao i u sećanju njegovih kolega matematičara. U Pizi je u 19. veku podignuta statua u njegovu čast, a može se danas posetiti na Gradskom groblju, na Trgu čuda (Piazza dei Miracoli). Ne postoji mnogo informacija o poznom dobu njegovog života, iako je dekretom Pizanske republike 1240. Leonardu odobrena doživotna plata, u znak priznanja stečenog na funkciji gradskog savetnika za računovodstvo i finansije.

BBVA OpenMind