Fibonačijevi magični brojevi


10

Leonardo Bigollo (Leonardo Pisano ili de Piza; Leonardo Pizanski, Leonardo od Pize) bio je matematičar koji je živeo u Italiji na prelazu između 12. i 13. stoleća (1170-1240), ličnost koja je prva okrenula leđa sistemu rimskih brojeva koji su u njegovo vreme prevladavali. Leonardo je u istoriji bio poznat po nadimku Fibonacci, što je derivat dve reči (fillius + bonnacci, što na latinskom i italijanskom u miksu dobija značenje “sin dobronamernog”. Očigledno da je Leonardov otac Guljelmo (Guglielmo) bio poznat kao dobra osoba i znameniti trgovac koji je često putovao po Severnoj Africi. Tamo je, tokom svojih putovanja s ocem, njegov sin Leonardo i otkrio magiju arapskih brojeva i matematike.

24Hindu-arapski sistem brojanja prešao je iz Indije u Persiju a potom na Bliski Istok i u Severnu Afriku, odakle je „doskočio“ i na evropsko tle, pre svega zahvaljujući između ostalih i Fibonačiju. Pizanova ideja korišćenja arapskih brojeva sadržavala je mogućnost rada sa celim brojevima ili razlomcima, deljenje brojeva na proste činioce, kvadratni koren, itd. Uprkos brojnim prednostima i velikoj praktičnosti, usvojiti ovaj sistem nije bilo lako. Krstaški ratovi protiv islama koji su se u to vreme odigravali stavljali su pod sumnju što je bilo označeno kao “arapsko”. Arapski brojevi su 1299. u Firenci čak bili i zabranjeni, uz obrazloženje da ih je „lakše falsifikovati nego rimske brojeve”.

Zahvaljujući očevom poslu, Leonardu Fibonačiju je pružena prilika da se susreće s velikim matematičarima koji su se nalazili izvan tzv. „istočnog kruga“ (Egipat, Sirija, Alžir, Grčka, itd), i s kojima je njegov otac svakodnevno dolazio u kontakt tokom dugih putovanja kroz arapske zemlje i Mediteran. Kasnije se vratio u Italiju, a kada mu je bilo 32 godine objavio je knjigu Liber Abaci (1202), u kojoj je objasnio značaj arapskog sistema numerisanja i njihovu primenu na najrazličitije svakodnevne situacije tokom trgovine i trgovačkog računanja. Ovim je, zapravo, želeo da dokaže da bi Evropljanima bilo nepojamno praktičnije ukoliko bi počeli da se koriste arapskim a ne rimskim numeričkim sistemom: Arapski sistem bio je nenadmašan u radu sa stranim valutama, vođenju trgovačkih knjiga (tj današnjem računovodstvu), pri merenju i pretvaranju težinskih mera, itd. Četvrt veka kasnije (1227), objavio je drugo izdanje iste knjige koja je danas postala referentna verzija “Liber abaćija” jer ručno pisane kopije prvog izdanja iz 1202. ne postoje (naslov znači “Knjiga računanja”, mada je neki pogrešno prevode kao “Knjiga abakusa”; “abaci” ili “abacci” je talijanska reč za arapsku računaljku koja je u to vreme bila pojam za računske operacije. Danas postoji samo II izdanje iz 1227. dok su primerci prvog izdanja u celosti izgubljeni).

22

Federiko Drugi Hohenštaufenski (Federico II de Hohenstaufen, 1194-1250) bio je Sveti rimski car u trenutku kada je doznao za Fibonačijev rad, sve to zahvaljujući korespondenciji koju je po svom povratku u Italiju ovaj matematičar održavao s nekim od članova carevog Suda. Među njima je bio i Majkl Skot (Michael Scotus), astrolog kojem se Pizano divio i kome je posvetio drugo izdanje svoje i danas poznate knjige. Johan Palermski (Johnanes of Palermo) je pred tim Sudom postavio Fibonačiju jedan matematički problem koji će mu zauvek urezati mesto u istoriji.

Čovek stavi dva zeca u prostor okružen zidom sa svih strana. Koliko je parova zečeva moguće proizvesti iz ovog para za godinu dana, ako svakog meseca svaki par novih zečeva na svet donese još jedan par, koji se može reprodukovati svakog drugog meseca?

Fibonači je prihvatio izazov; rešio je taj problem, a rešenje objavio u radu pod nazivom “Flos” (1225). Tom prilikom razvio je numerički niz koji će u istoriji biti usvojen kao Fibonačijev niz. Ovaj niz brojeva počinje sa 0 i 1, a odatle je svaki element – ili Fibonačijev broj – zbir prethodna dva.

30

Fibonačijev niz predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule, a prva dva člana su mu 0 i 1.

To jest, nakon dve početne vrednosti, svaki sledeći broj je zbir dvaju prethodnih. Prvi Fibonačijevi brojevi takođe su označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , pa su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

01Fibonačijevi brojevi, a u stvari celokupan matematički princip – u zapadnoj matematici predstavljeni kao konstanta fi (∅), i to po čuvenom vajaru Fidiji koji se u izgradnji grčkog Panteona i skulptura ovog hrama koje su se u koristio proporcijom 1 : 1.6. Dakle, konstanta „fi“ nije dobila svoj naziv po Fibonačiju. Uz to, treba reći i da je dokazano kako je ova konstanta bila daleko ranije opisana, i to u Indiji.

I tako je Leonardo uspešno predstavio reproduktivni ciklus kod zečeva, iako je to veštački model u slučaju ovih životinja (a biološki gledano, to i nije sasvim tačno), savršeno se po tome uklapajući sa reproduktivnim modelom pčela. U košnici, samo je kraljica ta koja ima moć reprodukcije: Ona je jedina koja polaže jaja.31

Ako su oplođene, rađaju se ženke, sa 50% genetskog materijala kojeg pruža majka („Kraljica“), i sa drugih 50% koji potiču s očeve strane. Trutovi ili muške pčele nastaju od neoplođenih jaja. Zbog toga,ženske pčele radilice imaju dva roditelja, dok trutovi imati jednog: 100% njihove genetske informacije obezbeđuje majka.

001Pčele nisu jedini izuzetak, a ovi brojevi, kao matematički princip, stoje iza mnogovrsnih fenomena prirode: Fibonačijev niz nalazi se u rasporedu cvetnih latica, u nastanku uragana itd.

Fibonačijev niz se često nazivaju i “Božanskom razmerom”. Uzmemo li jedan deo Fibonačijevog niza (2, 3, 5, 8), i podelimo li svaki sledeći broj s njemu prethodnim, dobićemo uvek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približavaju broju fi.

Sledi nekoliko primera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

U pčelinjoj zajednici, košnici, uvek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvek bi dobili broj fi.

14

Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bismo izračunali odnos svakog spiralnog segmenta i njegovih razmera u odnosu prema narednom segmentu, dobili bismo broj fi.

Seme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promera rotacije je broj fi.

Izmerimo li čovečju dužinu od vrha glave do poda, a zatim to podelimo s dužinom od pupka do poda – dobijamo broj fi.

Kako je to moguće? Jesu li ovi slučajevi plod „abrakadabra“ kombinacije u matematici? Misterija koja leži iza ovog niza brojeva kojem je, izgleda, predodređeno da bude upisan u matematičke osnove svega što nas okružuje (ili barem u mnogim stvarima koje postoje oko nas) uvek nanovo fasciniraju stručnjake iz raznih oblasti nauke, a tu su čak i publikacije specijalizovane za pronalaženje novih oblasti i problema povezanih sa ovim nizom i konstantom fi.

Čak i nekoliko vekova kasnije, Johan Kepler (1571-1630) je bio trajno fasciniran istraživanjima ovog niza da bi, stolećima kasnije, razvio koncept koji je u istoriju matematike ušao kao “Božanska konstanta”, zapisana u njegovoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” (1611).

23Ali koliko “magije” ima u čuvenom Fibonačijevom nizu? U kom trenutku je Pizanac ovaj princip opisao kao svoju „ekskluzivu“, kao i proporcije među brojevima koje ih dovode u međusobni odnos? Istorija je ostavila tragove o prethodnim referencama koje se odnose na njegovu kasniju formulu, kao što je slučaj s nekolikim indijskim matematičarima: Gopalom (1135) i Hemačandrom (1150), koji su ovaj „Božanski odnos“ već pominjali u svojim spisima – i to nekoliko decenija pre nego što je Fibonači bio rođen.

Kepler je otkrio ovaj redosled koristeći se odnosom koji već postoji među postojećim uzastopnim članovima niza. Dva je prema broju 3 je ono što je 3 za 5, a petica za osmicu, i tako dalje sa svim elementima. Prema tome, postoji udeo-odnos-proporcija (Božanska konstanta: proporcija koja je zdušno korišćena u renesansnoj umetnosti kao „Zlatni presek“); ovaj niz se stalno održava tokom deljenja brojeva: bitno je da je proporcija izražena konstantom „fi“ ista u svakom slučaju, bez obzira da li je zdanje građeno po principima Zlatnog preseka gigantska ili je minijaturnih razmera. Ova proporcija je predstavljena brojem fi (u čast grčkog vajara Fidije, da ponovimo – a ne Fibonačija!):  φ = 1.618.

16Zlatni presek se javlja kao proporcija rastućih oblika u prirodi i vekovima je privlačio pažnju matematičara i umetnika. Odnos Zlatnog preseka se dobija ako se jedna duž podeli na takav način da je odnos većeg dela prema celom isti kao i odnos manjeg dela prema većem: 0.6180339887…

Neprekidnu podelu zlatnog preseka zapažamo u samoj prirodi na mnoštvu biljaka, koliko u opštem sklopu toliko i u njihovim delovima, cvetovima, listovima (npr ljutić, rastavić, itd) a u zapanjujućem savršenstvu u ljušturama morskih puževa kao što je npr Nautilus). Zlatni presek se jasno manifestuje u sklopu ljudskog tela. Proporcionisanje čovečje figure sastoji se u što tačnijoj konstrukciji Zlatnog preseka u neprekidnom odmeravanju minora na majoru, kao i u primeni ovako dobijenih mera na odgovarajuće delove i dimenzije tela.

Danas je opšte prihvaćeno mišljenje da je grčki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepšu proporciju za najprikladnije oblike arhitekture. Proporcija Zlatnog preseka je traženi zakon lepote koji se nalazi u skladnosti i srazmernosti između pojedinih delova kao i delova u celini. Kroz istoriju je pravougaonik čiji je odnos među susednim stranicama u odnosu Φ=1.618033988749895… smatran najprijatnijim za oči. Grčki vajar Fidija izgradio je Partenon i mnoge figure na njemu u proporciji Zlatnog preseka.

Zlatni presek primenjen je na najlepšim grčkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima.

21Platon je pisao “da se dve stvari na lep način sjedine bez nečeg trećeg. Između njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se može najbolje izvršiti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja onaj srednji odnosi prema najmanjem kao najveći prema srednjem i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najvećem, onda će poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nužno isto, a budući da je isto čini jedno jedino.”

Opis pristaje, kao što se uočava, pojmu zlatnog preseka. Zlatni presek, kao proporcijski ili sistem srazmera, korišćen je u praksi i na istoku i na zapadu, nekada tačno a ponekad s izvesnim odstupanjem. Keopsova piramida, gotske katedrale i mnoge druge poznate građevine sadrže u sebi proporciju Zlatnog preseka.

I ovde se priča o Fibonačiju završava – da bi se opet, u beskrajnom nizu, potvrđivala i trajala kao Zakon Prirode.

28U svojoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” („O šestougaonoj pahulji“, 1611.) Kepler je definisao značaj ove proporcije i niza koji se, prema njegovim rečima, na sličan način razvija u reproduktivnom procesu i koji se može uspešno održavati. Ideja Keplera o biološkom auto-replikativnom (tj. samoobnavljajućem, ili samooplođujućem) procesu koji se odvija po Fibonačijevom nizu je do ne tako davno ignorisan od strane biologa, kada je raspored listova filotaksisa (Phyllotaxis) na stablu i naučno učvrstio ovu teoriju. .

Međutim, kako god da je došlo do ovog naučnog uvida, njegovo otkriće numeričkog niza – kojim je uzdigao ideju o Božanskim proporcijama – bila je više nego dovoljna za Fibonačijevu besmrtnost u „reci vremena“, baš kao i u sećanju njegovih kolega matematičara. U Pizi je u 19. veku podignuta statua u njegovu čast, a može se danas posetiti na Gradskom groblju, na Trgu čuda (Piazza dei Miracoli). Ne postoji mnogo informacija o poznom dobu njegovog života, iako je dekretom Pizanske republike 1240. Leonardu odobrena doživotna plata, u znak priznanja stečenog na funkciji gradskog savetnika za računovodstvo i finansije.

BBVA OpenMind

 

Odučavanje od ekonomskih paradigmi


U čemu je suština: I kriza, i njene posledice, ali i empirijska ekonomska revolucija promenili su naše shvatanje ekonomije.

Ekonomska revolucija by Pavle bašić

Ekonomske teorije: koliko su relevantne? (Infographic by Pavle Bašić)

Konvencionalne mudrosti o ekonomiji sa strane ponude, kratkoročnoj Filipsovoj krivulji (Prema jednačini kratkoročne agregatne ponude, proizvodnja je povezana sa kretanjem nivoa cena), i procesu globalnog prilagođavanja – sve su dovedene u pitanje. Čak i konvencionalne mikroekonomske mudrosti o međuzavisnosti određivanja minimalnih plata i socijalnim programima se osporavaju novim podacima, koji pokreću pitanja o tome kako ekonomija treba da se uči i koristi za usmeravanje javnih politika.

Odučavanje od makroekonomije

Adam Posen piše da je mnogo ekonomista govorilo o potrebi da nakon globalne finansijske krize u potpunosti preispitaju glavne pretpostavke makroekonomskih znanja.

Pol Krugman (Paul Krugman) piše da su nas teorije slabo poslužile u razumevanju agregatne ponude. Jedan veliki problem je bio izostanak deflacije. “Ubrzavajuća” Filipsova kriva, koja je bila standard – da inflacija zavisi od nezaposlenosti i zadocnele inflacije – Izgledala je kao da je u skladu sa iskustvom iz prethodnih velikih kriza, koje su povezane sa velikim padom stope inflacije. Konkretno, mi smo naučili da citiramo spiralu u smeru kazaljke na satu koja je opservirana u prostoru nezaposlenost -inflacija kao dokaz za Fridman-Felpsovu teoriju prirodne stope (Filipsova kriva kao empirijska veza inflacije i nezaposlenosti postala je jedan od ključnih teorijskih koncepata ekonomske politike, u odnosu na koju su svoje stavove prelamale najznačajnije škole makroekonomske misli. Fridman i Felps smatraju da, bez obzira na stopu inflacije, stopa nezaposlenosti gravitira ka svojoj prirodnoj stopi. Zato je dugoročna Filipsova kriva vertikalna). Drugi veliki problem je dramatičan pad u procenama potencijalnog BDP, koji je jasno u korelaciji sa dubinom cikličnih kriza.

Robert Valdman (Robert Waldmann) piše da je razlog zbog koga je Krugman bio iznenađen slabim stranama ekonomije ponude to što nije obratio dovoljnu pažnju na evropski problem nezaposlenosti. Hipoteza o prirodnoj stopi nezaposlenosti je spektakularno propala u Evropi u 1980. Izuzetno visoka stopa nezaposlenosti nije dovela do deflacije – već je koegzistirala sa umerenom inflacijom dugo vremena, a zatim i sa niskom inflacijom. Do 2008. godine, ravna Filipsova kriva je već bila vrlo jasna svakome ko je čitao italijanske novine.

Bred Delong (Brad DeLong) piše da su “hiksijanski” ekonomisti (sledbenici ekonomiste Džona Hiksa) pogrešno razumeli kratkoročnu Filipsovu krivu. Ona je trebalo da bude mali množilac tipičnog trajanja ugovora u privredi – recimo  šest godina u ekonomiji koju karakterišu trogodišnji ugovori o radu, a možda i tri godine u jednoj ekonomiji u kojoj radnici i poslodavci donose odluke na godišnjem nivou. Nakon tog vremena, nominalne cene i plate bi trebalo da budu dovoljno prilagođene nominalnim agregatima ponude i tražnje na kojima u tom trenutku počiva privreda ili je na putu da dostigne svoju dugoročnu strukturu pune zaposlenosti.

Lorens Samers (Lawrence Summers) piše da je prilično teško odoleti zaključku da će – suprotno jednostavnim udžbenicima ekonomije – kada se recesija dogodi 2020. godine, naše prognoze BDP u 2028. biti dosta skromnije nego što bi to bile da nije bilo recesije.

U nedavnom govoru u centru Klausen (Clausen), Benoa Kor (Benoit Coeure) piše da nedavna teorijska i empirijska istraživanja počinju sa dekonstrukcijom tri važne pretpostavke u našem razumevanju međunarodnog makroekonomskog procesa prilagođavanja: da pomeranje agregatne tražnje ka svim privredama održava odgovarajući tempo globalnog rasta; da slobodno fluktuirajući kurs podržava takvu tražnju i deluje kao amortizer uspona i padova; i da prekogranični kapitalni tokovi čine međunarodno prilagođavanje lakšim, doprinoseći boljoj globalnoj alokaciji kapitala.

Odučavanje od mikroekonomije

Noa Smit (Noah Smith) piše da iznova i iznova, standardne ideje – stvari koje većina dece nauči na uvodu u ekonomiju – biva zdrobljeno teškom rukom novih podataka. Tona standardnih, uobičajenih teorija gotovo nimalo ne odgovara onome sa čim se srećemo u realnosti.

Na primer:

Ako na primer nacrtate neki brz grafikon ponude i potražnje na tabli, izgledaće kao će određivanje minimalnih zarada nauditi zaposlenosti na kratak rok. Ali podaci pokazuju da se to verovatno neće desiti.

Ako postoji bilo kakvo ograničenje u mobilnosti, onda jednostavna teorija o potražnji za radnom snagom kaže da će veliki priliv imigranata pritisnuti plate radnika sa sličnim veštinama u toj zemlji na dole. Međutim, podaci pokazuju da je u mnogim slučajevima, posebno u SAD, taj efekat bio veoma mali.

Jednostavna teorija o izboru između rada i slobodnog vremena predviđa da će u slučaju postojanja socijalne pomoći njeni primaoci nastojati da manje rade. Ali gomila novih studija pokazuje da u zemljama širom sveta, programi socijalne pomoći jedva da smanjuju napor radnika za iznalaženjem adekvatnog radnog mesta.

Većina standardnih ekonomskih teorija ne uzima u obzir postojanje društvenih normi. Ali, eksperimenti dosledno pokazuju da su društvene norme (ili moral, široko shvaćen) veoma bitne za ljude.

Noa Smit piše da ne treba da obučavamo buduću poslovnu elitu da poklanja pažnju onim empirijskim teorijama koje – u empirijskom smislu – imaju malo uspeha. Jednostavne teorije koje učimo na časovima Uvoda u ekonomiju (na primer o uticaju minimalnih plata i povećanja socijalne pomoći) funkcionišu s vremena na vreme, ali u mnogim važnim slučajevima nisu uspešne. To je ono što smo naučili iz empirijske revolucije u ekonomiji. Mi sada imamo akademsku ekonomsku profesiju usmerenu na ispitivanje dokaza i na jedan program učenja iz Uvoda u ekonomiju koji je fokusiran na pričanje prijatnih ali često beskorisnih bajki. To ima velike političke implikacije. Ukoliko oni koji diplomiraju ekonomske nauke napuste svoje klupe verujući da su one teorije koje su naučili uglavnom tačne, oni će donositi loše odluke i u vođenju ekonomskih politika i u donošenju poslovnih odluka.

Noa Smit piše da je problem u tome što se stavljanjem naglaska na teorije i potiskivanjem dokaza na margine, udžbenici ekonomije (i kursevi ekonomije) teže da prevare decu, naime: da im „objasne“ kako teorije mnogo više odgovaraju realnosti nego što je to zaista slučaj. Kada se ljudi posvete detaljnom izučavanju teorija mislim da su oni prirodno skloni da veruju da teorije imaju svoju empirijsku podlogu izuzev ako ne uoče dokaze koje govore suprotno.

 

Bruegel.org