Uloga Mreža u širenju korone

Već je očigledno da ovo nije tek jedna od “onih sezona” u kojoj je izbio “još jedan” težak oblik gripa. Jer, korona se širi daleko brže no što većina Amerikanaca shvata.

“Panika proizvedena korona virusom je obična glupost.” Oklevam da se sasvim složim s Ilonom Maskom, ali hajde da ovom prilikom kažem isto što i on, kaže Nial Ferguson, pisac i domaćin dokumentarne serije „Niall Ferguson’s Networld“, zasnovane na njegovom bestseleru iz 2018. godine, „Trg i kula“ (The Square and the Tower: Networks and Power). Ova TV serija će se od 17. marta emitovati na američkoj državnoj mreži PBS, specijalizovanoj za programe edukativno-dokumentarnog tipa.

Pogrešan način razmišljanja o brzom globalnom širenju novog oblika korona virusa, koji se u stručnoj nomenklaturi vodi kao „2019-nCoV“, i oboljenja odnosno komplikacije koje on izaziva – Covid-19, hajde da ga tako zovemo i spustimo se s akademskog nivoa – kao što me je prošlog ponedeljka u par rečenica podsetio jedan pametni i bogati čovek: „Sećate li se virusa „H1N1-A“ iz 2009? Ni ja. Njim se zarazio značajan deo sveta, ubivši 20.000 američkih građana i – brzo smo ga prebrodili.” Možda bi ovome pridodao da je tih 20 hiljada žrtava manje od polovine onih Amerikanaca koji su 2017. umrli od tadašnjih verzija gripa i upale pluća.

H1N1, takođe poznat kao svinjski grip, bio je, kao što samo ime kaže, jedan oblik gripa. Reproduktivni broj – što je broj prenosilaca zaraženih klasičnim putem, ukratko „R0“ – bio je 1,75. Američki Centar za kontrolu i prevenciju bolesti (CDC) procenio je da je u Sjedinjenim Državama virusom H1N1 svojevremeno inficirano 60,8 miliona ljudi, ubivši 12.469 osoba – što, na ovu brojku, predstavlja stopu smrtnosti od 0,02%.

Čini se da ovaj novi korona virus – koji nije influenca jer ne napada samo disajne puteve i pulmonalni sistem već i gastrointestinalni sistem – ima viši R0 i daleko višu stopu smrtnosti od svinjskog gripa. Ta stopa je gotovo sigurno niža od prošlonedeljne procene Svetske zdravstvene organizacije (3,4%), ali je i dalje mnogo viša nego u slučaju H1N1. Južna Koreja, koja verovatno poseduje najtačnije podatke s obzirom na njen agresivni režim ispitivanja, izveštava o 50 smrtnih slučajeva na 7.313 inficiranih, što je stopa smrtnosti od 0,68% (nešto više od jednog smrtnog slučaja na dvesta obolelih). A ukoliko virusom Covid-19 bude inficirano još Amerikanaca – do, recimo, nekadašnjeg nivoa zaraženosti svinjskim gripom – broj smrtnih slučajeva mogao bi premašiti 440.000 (otprilike 38 puta smrtonosniji od svinjskog gripa).

Ukratko, Covid-19 ima potencijal da 2020. godinu učini daleko gorom od tek „još jedne sezone teškog oblika gripa“. Da bismo razumeli zašto je to tako, moramo primeniti jedan sofisticiraniji postupak i okvir delovanja od onog kojim se, u dokolici, bavi većina laičkih komentatora – uključujući tu i milijardere.

“Čini se da je u Vuhanu došlo do novog izbijanja teškog oblika upale pluća.” Bilo je ovo prvo moje spominjanje nadolazeće pandemije koju sam naznačio u e-pošti od 4. januara. Nakon nešto više od dve nedelje, primetio sam da je novi virus „već prouzrokovao tri smrtna slučaja u gradu Vuhan“, ali sam ujedno upozorio i da se može brzo širiti, poput, recimo SARS-a 2003. godine, kada se epidemija poklopila sa proslavom kineske Nove godine. Deset dana nakon toga, 30. januara, bilo je 9.776 potvrđenih slučajeva zaraze koronom, dok je ukupno bilo 213 smrtnih slučajeva. Na dan 8. marta (pre pet dana) , potvrđeno je više od 107 hiljada slučajeva, i gotovo 3,700 umrlih.

U početku, broj slučajeva zaraze izvan granica Kine nije rastao eksponencijalno. To se, međutim, promenilo tokom februara. Pre nešto više od tri nedelje, taj se broj na svakih osam dana udvostručavao. Sada se udvostručuje na svakih pet dana.

Standardni epidemiološki modeli imaju tendenciju da potcene pretnju koju predstavlja virus kao što je 2019-nCoV, jer ne uzimaju u obzir topologiju društvenih mreža koje ga prenose. Zahvaljujući mrežnom-internet radu naučnika kao što su Romualdo Pastor-Satorras i Alessandro Vespignani, sada razumemo izvanrednu snagu prenosivosti koju poseduju savremene saobraćajne, transportne ali i društvene mreže, u kombinaciji sa čvorištima koja su na društvenim mrežama poznata kao “super-prenosioci“ („superspreaders“).

Ovde bi bilo umesno citirati Lasla Barabasija (László Barabási), Vespinjanijevog kolege sa Univerziteta Northeastern, koji kaže da „Kada je reč o širenju patogena, epidemijski parametri su od drugorazrednog značaja. Najvažniji faktor je struktura mreže mobilnosti... Virus gripa kreće se kontinentima brzinom sportskog automobila ili manjeg aviona.

To znači da se ograničenja putovanja često nameću prekasno da bi se zaustavilo širenje zaraznog virusa duž ruta između 3.000 najprometnijih aerodroma na svetu. Ono što je važno nije ona geografska već „efektivna udaljenost“ tokom putovanja.

Zatim, na tlu-kopnu su prisutne sve moguće lokalne mreže, gde aerodromi, tržni centri, supermarketi i škole funkcionišu kao žarišta povezana sa bezbroj domova i kancelarija.

Konačno, i što je najvažnije, prisutnost društvenih mreža koje su, poput transportnih mreža, neograničenog obima (scale-free), i sposobne da u trenutku sve prenesu na neograničenu daljinu: Relativno mali broj veb-čvorišta ima neverovatno visok broj „ispusta“, „poruba“ i „ivica“. U dobrim vremenima i u svojoj benignoj verziji na društvenim mrežama pojave se oni koji su direktno iskusili nešto, a potom Mrežom prenose svoja iskustva: možda česti putnici avionom, a tu su i oni umreženi nagonom da deluju u čoporu, s kojim su uvek u saglasju; ima i onih koji žele da zavedu ili budu zavedeni: oni koji su željni drugih vidova druženja. U vremenima stvarne zaraze, oni su super-prenosioci, poput čuvenog Gaetana Digaa (Gaëtan Dugas ¹ ² ³ , 1953 – 1984) kanadskog stjuarta francuskog porekla koji je osnovano tvrdio da je imao 2.500 seksualnih partnera, i koji je u povojima širenja AIDS-a postao (sasvim pogrešno) prepoznat kao „nulti prenosilac“ ili „nulti pacijent“ (da bi se danas, naknadno, nakon gotovo četiri decenije, sa sigurnošću utvrdilo kako ovo nije bilo tačno). Ili, recimo, Leu Đjanlun (Leu Jianlun), lekar iz provincije Guangdong, za kojeg se pouzdano zna da je u Hong Kong doneo SARS, u trenutku kada se 21. februara 2003. godine došao na recepciju hotela ’Metropol’.

Sociolog i lekar Nikolas Kristakis, nekadašnji diplomac Harvarda a sada predavač na Jejlu je ukazao kako je sličan obrazac svojevremeno postojao i na Harvardu, u trenutku kada je svinjski grip H1N1 prodro u kampus. “Brzina kojom se grip širio tokom ove epidemije je neposredno zavisio od različitih aspekata ‘položaja’ i ’statusa’ koji su tadašnji prenosioci gripa imali na društvenim mrežama”, piše Kristakis. „Oni studenti koji su imali više prijatelja i koji su bili centralne figure u svojoj lokalnoj grupi ’prijatelja’ – kao i oni čiji se prijatelji nisu međusobno poznavali – dobili su ga pre svih ostalih.“

Kada je u pitanju Covid-19, slični procesi su uzrok zapanjujućoj brzini kojom se i ova verzija gripa širi svetom, a zatim i izvan transportnih i društvenih mreža/čvorišta. Britanski biznismen koji je sa konferencije u Singapuru odleteo na skijanje u francuske Alpe bio je jedan od prvih distributera korone koji su identifikovani tokom ove epidemije. Virus je stigao do Švajcarske preko grupe turista koji su se vraćali iz posete Italiji.

Usled svih ovih prethodno pobrojanih razloga, broj za sada poznatih slučajeva u Sjedinjenim Državama (436) mora biti odmah isključen iz igre, i to barem za jedan red veličine (dakle, 10 puta većeg obima) ili, što je još verovatnije, za dva reda veličine (100 puta); ovo se, naprosto, dešava usled katastrofalnog nedostatka medicinskih setova za brzo testiranje. Prema Satoras-Vespinjanijevom Modelu globalnog širenja i mobilnosti epidemije, Sjedinjene Države su peta zemlja po ranjivosti na prodor korone iz inostranstva – nakon Tajlanda, Japana, Tajvana i Južne Koreje. Ukoliko se pokaže da će SAD imati proporcionalno onoliko slučajeva koliko ih trenutno ima Južna Koreja, Sjedinjene Države će u najskorijoj budućnosti imati oko 46.000  zaraženih i više od 300 smrtnih slučajeva – ili, možda, „samo“ 1.200 smrtnih slučajeva ukoliko stopa smrtnosti u SAD-u bude slična onoj koju sada ima Italija.

Bilo bi kratkovido i nesmotreno ne uzeti u obzir sve potencijalne rizike koje mrežni efekti imaju i u slučaju širenja ove (za sada još uvek ne dovoljno poznate) verzije virusa. Ne samo da se korona širi mnogo brže nego što to većina Amerikanaca shvata; ona, takođe, ruši i globalne proizvodne lance snabdevanja kao i sve ekonomske aktivnosti koje zavise od putovanja ali i prostorne, vremenske ili međusobne bliskosti. To bi moglo pokrenuti „kaskadni efekat slapova”; međusobno povezanih propusta koji se silovito prelivaju na tržištu korporativnim obveznicama, narušavajući globalnu finansijsku mrežu usled iznenadne navale neizmirenih novčanih obaveza, odnosno, dugova.

Konačno, kablovske vesti i onlajn društvene mreže bi se lako mogle osloniti na širenje alarmantnih i potpuno lažnih priča o pandemiji – poput već naširoko rasprostranjene mape globalnih vazdušnih ruta koje su, prema jednom australijskom veb-sajtu, prikazale „podatke o letovima koje je imalo oko pet miliona stanovnika Vuhana koji su leteli tokom one kritične dve nedelje – pre nego što je izbila epidemija u ovom gradu koji je sada pod ključem.”

Taj aspekt mrežnog „raspršivanja“ panike je uistinu nedotupavan, primećuje Nial Ferguson. Ipak, i napokon, tome nasuprot, ne bi bilo pametno ni potcenjivati razmere pandemije Covid-19 – savršeni prikaz ranjivosti i krhkosti našeg tako intenzivno umreženog sveta.

Svetska zdravstvena organizacija preporučuje da za sada ne otkazujete svoje letove, ponašajući se u skladu sa preporukama ove krovne zdravstvene institucije.

Niall Ferguson (Wall Street Journal 8. Mart, 2020 12:25 pm ET)

Fibonačijevi magični brojevi

10

Leonardo Bigollo (Leonardo Pisano ili de Piza; Leonardo Pizanski, Leonardo od Pize) bio je matematičar koji je živeo u Italiji na prelazu između 12. i 13. stoleća (1170-1240), ličnost koja je prva okrenula leđa sistemu rimskih brojeva koji su u njegovo vreme prevladavali. Leonardo je u istoriji bio poznat po nadimku Fibonacci, što je derivat dve reči (fillius + bonnacci, što na latinskom i italijanskom u miksu dobija značenje “sin dobronamernog”. Očigledno da je Leonardov otac Guljelmo (Guglielmo) bio poznat kao dobra osoba i znameniti trgovac koji je često putovao po Severnoj Africi. Tamo je, tokom svojih putovanja s ocem, njegov sin Leonardo i otkrio magiju arapskih brojeva i matematike.

24Hindu-arapski sistem brojanja prešao je iz Indije u Persiju a potom na Bliski Istok i u Severnu Afriku, odakle je „doskočio“ i na evropsko tle, pre svega zahvaljujući između ostalih i Fibonačiju. Pizanova ideja korišćenja arapskih brojeva sadržavala je mogućnost rada sa celim brojevima ili razlomcima, deljenje brojeva na proste činioce, kvadratni koren, itd. Uprkos brojnim prednostima i velikoj praktičnosti, usvojiti ovaj sistem nije bilo lako. Krstaški ratovi protiv islama koji su se u to vreme odigravali stavljali su pod sumnju što je bilo označeno kao “arapsko”. Arapski brojevi su 1299. u Firenci čak bili i zabranjeni, uz obrazloženje da ih je „lakše falsifikovati nego rimske brojeve”.

Zahvaljujući očevom poslu, Leonardu Fibonačiju je pružena prilika da se susreće s velikim matematičarima koji su se nalazili izvan tzv. „istočnog kruga“ (Egipat, Sirija, Alžir, Grčka, itd), i s kojima je njegov otac svakodnevno dolazio u kontakt tokom dugih putovanja kroz arapske zemlje i Mediteran. Kasnije se vratio u Italiju, a kada mu je bilo 32 godine objavio je knjigu Liber Abaci (1202), u kojoj je objasnio značaj arapskog sistema numerisanja i njihovu primenu na najrazličitije svakodnevne situacije tokom trgovine i trgovačkog računanja. Ovim je, zapravo, želeo da dokaže da bi Evropljanima bilo nepojamno praktičnije ukoliko bi počeli da se koriste arapskim a ne rimskim numeričkim sistemom: Arapski sistem bio je nenadmašan u radu sa stranim valutama, vođenju trgovačkih knjiga (tj današnjem računovodstvu), pri merenju i pretvaranju težinskih mera, itd. Četvrt veka kasnije (1227), objavio je drugo izdanje iste knjige koja je danas postala referentna verzija “Liber abaćija” jer ručno pisane kopije prvog izdanja iz 1202. ne postoje (naslov znači “Knjiga računanja”, mada je neki pogrešno prevode kao “Knjiga abakusa”; “abaci” ili “abacci” je talijanska reč za arapsku računaljku koja je u to vreme bila pojam za računske operacije. Danas postoji samo II izdanje iz 1227. dok su primerci prvog izdanja u celosti izgubljeni).

22

Federiko Drugi Hohenštaufenski (Federico II de Hohenstaufen, 1194-1250) bio je Sveti rimski car u trenutku kada je doznao za Fibonačijev rad, sve to zahvaljujući korespondenciji koju je po svom povratku u Italiju ovaj matematičar održavao s nekim od članova carevog Suda. Među njima je bio i Majkl Skot (Michael Scotus), astrolog kojem se Pizano divio i kome je posvetio drugo izdanje svoje i danas poznate knjige. Johan Palermski (Johnanes of Palermo) je pred tim Sudom postavio Fibonačiju jedan matematički problem koji će mu zauvek urezati mesto u istoriji.

Čovek stavi dva zeca u prostor okružen zidom sa svih strana. Koliko je parova zečeva moguće proizvesti iz ovog para za godinu dana, ako svakog meseca svaki par novih zečeva na svet donese još jedan par, koji se može reprodukovati svakog drugog meseca?

Fibonači je prihvatio izazov; rešio je taj problem, a rešenje objavio u radu pod nazivom “Flos” (1225). Tom prilikom razvio je numerički niz koji će u istoriji biti usvojen kao Fibonačijev niz. Ovaj niz brojeva počinje sa 0 i 1, a odatle je svaki element – ili Fibonačijev broj – zbir prethodna dva.

30

Fibonačijev niz predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule, a prva dva člana su mu 0 i 1.

To jest, nakon dve početne vrednosti, svaki sledeći broj je zbir dvaju prethodnih. Prvi Fibonačijevi brojevi takođe su označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , pa su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

01Fibonačijevi brojevi, a u stvari celokupan matematički princip – u zapadnoj matematici predstavljeni kao konstanta fi (∅), i to po čuvenom vajaru Fidiji koji se u izgradnji grčkog Panteona i skulptura ovog hrama koje su se u koristio proporcijom 1 : 1.6. Dakle, konstanta „fi“ nije dobila svoj naziv po Fibonačiju. Uz to, treba reći i da je dokazano kako je ova konstanta bila daleko ranije opisana, i to u Indiji.

I tako je Leonardo uspešno predstavio reproduktivni ciklus kod zečeva, iako je to veštački model u slučaju ovih životinja (a biološki gledano, to i nije sasvim tačno), savršeno se po tome uklapajući sa reproduktivnim modelom pčela. U košnici, samo je kraljica ta koja ima moć reprodukcije: Ona je jedina koja polaže jaja.31

Ako su oplođene, rađaju se ženke, sa 50% genetskog materijala kojeg pruža majka („Kraljica“), i sa drugih 50% koji potiču s očeve strane. Trutovi ili muške pčele nastaju od neoplođenih jaja. Zbog toga,ženske pčele radilice imaju dva roditelja, dok trutovi imati jednog: 100% njihove genetske informacije obezbeđuje majka.

001Pčele nisu jedini izuzetak, a ovi brojevi, kao matematički princip, stoje iza mnogovrsnih fenomena prirode: Fibonačijev niz nalazi se u rasporedu cvetnih latica, u nastanku uragana itd.

Fibonačijev niz se često nazivaju i “Božanskom razmerom”. Uzmemo li jedan deo Fibonačijevog niza (2, 3, 5, 8), i podelimo li svaki sledeći broj s njemu prethodnim, dobićemo uvek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približavaju broju fi.

Sledi nekoliko primera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

U pčelinjoj zajednici, košnici, uvek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvek bi dobili broj fi.

14

Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bismo izračunali odnos svakog spiralnog segmenta i njegovih razmera u odnosu prema narednom segmentu, dobili bismo broj fi.

Seme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promera rotacije je broj fi.

Izmerimo li čovečju dužinu od vrha glave do poda, a zatim to podelimo s dužinom od pupka do poda – dobijamo broj fi.

Kako je to moguće? Jesu li ovi slučajevi plod „abrakadabra“ kombinacije u matematici? Misterija koja leži iza ovog niza brojeva kojem je, izgleda, predodređeno da bude upisan u matematičke osnove svega što nas okružuje (ili barem u mnogim stvarima koje postoje oko nas) uvek nanovo fasciniraju stručnjake iz raznih oblasti nauke, a tu su čak i publikacije specijalizovane za pronalaženje novih oblasti i problema povezanih sa ovim nizom i konstantom fi.

Čak i nekoliko vekova kasnije, Johan Kepler (1571-1630) je bio trajno fasciniran istraživanjima ovog niza da bi, stolećima kasnije, razvio koncept koji je u istoriju matematike ušao kao “Božanska konstanta”, zapisana u njegovoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” (1611).

23Ali koliko “magije” ima u čuvenom Fibonačijevom nizu? U kom trenutku je Pizanac ovaj princip opisao kao svoju „ekskluzivu“, kao i proporcije među brojevima koje ih dovode u međusobni odnos? Istorija je ostavila tragove o prethodnim referencama koje se odnose na njegovu kasniju formulu, kao što je slučaj s nekolikim indijskim matematičarima: Gopalom (1135) i Hemačandrom (1150), koji su ovaj „Božanski odnos“ već pominjali u svojim spisima – i to nekoliko decenija pre nego što je Fibonači bio rođen.

Kepler je otkrio ovaj redosled koristeći se odnosom koji već postoji među postojećim uzastopnim članovima niza. Dva je prema broju 3 je ono što je 3 za 5, a petica za osmicu, i tako dalje sa svim elementima. Prema tome, postoji udeo-odnos-proporcija (Božanska konstanta: proporcija koja je zdušno korišćena u renesansnoj umetnosti kao „Zlatni presek“); ovaj niz se stalno održava tokom deljenja brojeva: bitno je da je proporcija izražena konstantom „fi“ ista u svakom slučaju, bez obzira da li je zdanje građeno po principima Zlatnog preseka gigantska ili je minijaturnih razmera. Ova proporcija je predstavljena brojem fi (u čast grčkog vajara Fidije, da ponovimo – a ne Fibonačija!):  φ = 1.618.

16Zlatni presek se javlja kao proporcija rastućih oblika u prirodi i vekovima je privlačio pažnju matematičara i umetnika. Odnos Zlatnog preseka se dobija ako se jedna duž podeli na takav način da je odnos većeg dela prema celom isti kao i odnos manjeg dela prema većem: 0.6180339887…

Neprekidnu podelu zlatnog preseka zapažamo u samoj prirodi na mnoštvu biljaka, koliko u opštem sklopu toliko i u njihovim delovima, cvetovima, listovima (npr ljutić, rastavić, itd) a u zapanjujućem savršenstvu u ljušturama morskih puževa kao što je npr Nautilus). Zlatni presek se jasno manifestuje u sklopu ljudskog tela. Proporcionisanje čovečje figure sastoji se u što tačnijoj konstrukciji Zlatnog preseka u neprekidnom odmeravanju minora na majoru, kao i u primeni ovako dobijenih mera na odgovarajuće delove i dimenzije tela.

Danas je opšte prihvaćeno mišljenje da je grčki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepšu proporciju za najprikladnije oblike arhitekture. Proporcija Zlatnog preseka je traženi zakon lepote koji se nalazi u skladnosti i srazmernosti između pojedinih delova kao i delova u celini. Kroz istoriju je pravougaonik čiji je odnos među susednim stranicama u odnosu Φ=1.618033988749895… smatran najprijatnijim za oči. Grčki vajar Fidija izgradio je Partenon i mnoge figure na njemu u proporciji Zlatnog preseka.

Zlatni presek primenjen je na najlepšim grčkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima.

21Platon je pisao “da se dve stvari na lep način sjedine bez nečeg trećeg. Između njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se može najbolje izvršiti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja onaj srednji odnosi prema najmanjem kao najveći prema srednjem i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najvećem, onda će poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nužno isto, a budući da je isto čini jedno jedino.”

Opis pristaje, kao što se uočava, pojmu zlatnog preseka. Zlatni presek, kao proporcijski ili sistem srazmera, korišćen je u praksi i na istoku i na zapadu, nekada tačno a ponekad s izvesnim odstupanjem. Keopsova piramida, gotske katedrale i mnoge druge poznate građevine sadrže u sebi proporciju Zlatnog preseka.

I ovde se priča o Fibonačiju završava – da bi se opet, u beskrajnom nizu, potvrđivala i trajala kao Zakon Prirode.

28U svojoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” („O šestougaonoj pahulji“, 1611.) Kepler je definisao značaj ove proporcije i niza koji se, prema njegovim rečima, na sličan način razvija u reproduktivnom procesu i koji se može uspešno održavati. Ideja Keplera o biološkom auto-replikativnom (tj. samoobnavljajućem, ili samooplođujućem) procesu koji se odvija po Fibonačijevom nizu je do ne tako davno ignorisan od strane biologa, kada je raspored listova filotaksisa (Phyllotaxis) na stablu i naučno učvrstio ovu teoriju. .

Međutim, kako god da je došlo do ovog naučnog uvida, njegovo otkriće numeričkog niza – kojim je uzdigao ideju o Božanskim proporcijama – bila je više nego dovoljna za Fibonačijevu besmrtnost u „reci vremena“, baš kao i u sećanju njegovih kolega matematičara. U Pizi je u 19. veku podignuta statua u njegovu čast, a može se danas posetiti na Gradskom groblju, na Trgu čuda (Piazza dei Miracoli). Ne postoji mnogo informacija o poznom dobu njegovog života, iako je dekretom Pizanske republike 1240. Leonardu odobrena doživotna plata, u znak priznanja stečenog na funkciji gradskog savetnika za računovodstvo i finansije.

BBVA OpenMind