Tag Archives: Univerzitet u Oksfordu

Kako pomiriti ljude i robote?

U narednim godinama, gotovo svi aspekti naših ekonomija i privreda biće preobraženi automatizacijom. Istorija i ekonomska teorija ukazuju na to da su strahovanja od tzv. “tehnološke nezaposlenosti”, termin koji je Džon Mejnard Kejnz uveo u ekonomiju skoro pre jednog veka, neutemeljena.

Inteligentne mašine transformišu način na koji proizvodimo, radimo, učimo i živimo širom sveta. Gotovo svaki aspekt naših ekonomija će se radikalno promeniti.

Glavne logističke kompanije i pojedinačni vozači koriste nove tehnologije za optimizaciju svog planiranja rute. Kompanije kao što su BMW i Tesla već su izbacile na tržište auto-pilot funkcije u svojim automobilima, koje se proizvode uz pomoć sofisticiranih robota. Associated Press koristi veštačku inteligenciju kao asistenta pri pisanju vesti. 3D štampači se koriste za proizvodnju rezervnih delova – kako one za mašine tako i za ljude. AT&T, u saradnji sa kompanijom Udacity nudi online “nano-struke” u analizi podataka („nanodegrees“) Dronovi već dopremaju zdravstvenu opremu i lekove na udaljene lokacije u siromašnim zemljama. (Nanodegree, strukovni kursevi koje obezbeđuju kompanije Udacity i AT&T, između ostalih, predstavljaju sertifikacionu mrežu obučavanja od 6-12 meseci (10-20 sati nedeljno) po ceni od 200 dolara mesečno. Cilj je podučavati se osnovnim veštinama programiranja koje će vas kvalifikovati za početne programerske i analitičke pozicije u kompanijama kao što je AT&T)

Ove izvanredne nove tehnologije obećavaju veću produktivnost, veću efikasnost i veću sigurnost, fleksibilnost i udobnost. Međutim, one takođe podstiču i strahove zbog svog uticaja i efekata koje mogu imati na “ljudske” strukovne profile, poslovne veštine i – plate. Ovi strahovi su dodatno podgrejani skorašnjim studijom Karla Fraja i Majkla Ozborna (Carl Frey, Michael Osborne) sa Univerziteta u Oksfordu, kao i onom koju je sačinio McKinsey Global Institute (MGI); u obe studije iznosi se stav da bi se veliki broj radnih mesta, kako u zemljama u razvoju tako i u razvijenim zemljama, tehnički, mogao veoma brzo automatizovati. Istorija, kao i ekonomska teorija, međutim, ukazuju na to da je zabrinutost usled porasta tehnološke nezaposlenosti – nastale prodiranjem tehnologije po svim dimenzijama i frontovima, izraza koji je još ekonomista Džon Mejnard Kejnz (John Mainard Keines) skovao pre gotovo jednog veka – mogla biti bespotrebna i pogrešno postavljena.

U budućnosti, baš kao što je to bio slučaj i u prošlosti, tehnološke promene će verovatno uvećati produktivnost i prihode, ujedno povećavajući potražnju za radnom snagom. Dodajmo uz to i da će se pad cena i poboljšanje kvaliteta, kao i potražnja za robama i uslugama, takođe uvećati. Mnogi od danas stvorenih i “friških”profila zanimanja nije se čak moglo ni zamisliti, baš kao što je tek mali broj onih koji su pre jednog veka bili u stanju da predvide kako će razvoj automobilske industrije i masovnog saobraćaja doprineti razvoju motela i drive-in  restorana.

U svom novom izveštaju, McKinsey Global Institute zaključuje da je, po jednom umerenom scenariju, brzina i širina proboja automatizacije obima oko 15% današnje svetske radne snage jednaka poslovima za 400 miliona radnika koji bi mogli biti ukinuti između 2017. i 2030. A brži tempo automatizacije bi izazvao i daleko veća pomeranja na tržištu rada – u korist mašina a na štetu čoveka.

Dobra vest je da cje, kao rezultat planiranog povećanja potražnje za robom i uslugama – pre svega usled povećanja prihoda, rastućih zdravstvenih potreba nastalih starenjem stanovništva i ulaganja u infrastrukturu, energetsku efikasnost i obnovljive izvore – prilično izvesno da bi se stvorilo dovoljno novih radnih mesta kako bi se kompenzovali gubici radnih mesta. Novi poslovi će se, međutim, značajno razlikovati od poslova koji su nestali usled automatizacije, uz nametanje tereta bolnih troškova tranzicije na radnike, preduzeća i društvene zajednice.

U zavisnosti od brzine automatizacije, 75-375 miliona radnika ili 3-14% globalne radne snage biće primorano da se do 2030. godine prekvalifikuje i svoja zanimanja prebaci u druge, nove strukovne profile. U Sjedinjenim Državama i drugim razvijenim ekonomijama, gde se automatizacija po svemu sudeći brže odvija, 9-32% radne snage će možda morati da promeniti svoja stručna zanimanja i veštine povezane s njima.

Svi su izgledi da se u ovim zemljama smanjuje broj radnih mesta u preovlađujućim kategorijama zanimanja – kao što su ona u direktnoj proizvodnji ili rutinski, administrativni poslovi koji zahtevaju srednjoškolsko obrazovanje, dok će se zapošljavanje u kategorijama zanimanja poput pružanja zdravstvenih usluga i nege, obrazovanja, građevinarstva ili menadžmenta, kao i radnih mesta koja zahtevaju fakultet ili napredni stepen, povećati.

Prema jednom nedavnom istraživanju, većina Amerikanaca zabrinuta je da će automatizacija povećati nejednakost u prihodima. Njihova zabrinutost je, izgleda, opravdana. Pošto mnoga zanimanja sa srednjom platom podležu automatizaciji, polarizacija prihoda u Sjedinjenim Državama i drugim razvijenim zemljama će se verovatno nastaviti. Ukoliko radnici, koji su usled automatizacije izgubili posao, ne mogu brzo da nađu novi, povećava se nezaposlenost, uz potiskivanje nivoa plata nadole.

Dakle, šta se može učiniti kako bi se ubrzao i olakšao prelazak iz jedne u drugu struku  (tj prekvalifikacija), na koji će ljudi, usled masovne automatizacije, biti prisiljeni? Za početak, fiskalna i monetarna politika, potrebne da bi se postigli održivi nivoi agregatne tražnje za zaposlenima s punim radnim vremenom, sada su na kritičnom nivou. Politike za unapređenje ulaganja u infrastrukturu, stanovanje, alternativnu energiju i brigu o mladima i starim licima mogu podstaći ekonomsku konkurentnost i inkluzivni rast, dok, za to vreme, stvaraju milione radnih mesta u zanimanjima koja u budućnosti mogu doživeti ekspanziju, a ne gašenje, prouzrokovano automatizacijom.

Drugi odgovor na potencijalni gubitak poslova u budućnosti mora biti dramatično proširenje i redizajn programa obuke zaposlenih. Tokom protekle dve decenije, u većini zemalja OECD-a pali su izdaci vlade za obučavanje u novim veštinama i prilagođavanje novim zahtevima na tržištu rada. To je u Sjedinjenim Državama takođe u sadejstvu sa značajnim padom troškova poslovanja namenjenih prekvalifikaciji.

Ovi trendovi se nužno moraju preokrenuti. Doživotno učenje treba da postane realnost svih zaposlenih. Poslovi će se stalno menjati, dok će mašine, za to vreme konstantno preuzimati neke naše poslove i zadatke, a ljudske aktivnosti zahtevaće od nas neke stalno nove, drukčije veštine. Analiza MGI-a pokazuje da će kognitivne sposobnosti višeg nivoa – kao što su logično razmišljanje, veće komunikacijske veštine i poboljšane društvene i emocionalne veštine – postati sve važnije, dok mašine već danas preuzimaju naše rutinske operacije koje su sada uobičajene na radnom mestu – uključujući i kognitivne zadatke poput prikupljanja podataka i obrada.

Za zaposlene koji imaju srednje radno iskustvo, sa decom, hipotekama i drugim finansijskim obavezama, biće neophodna obuka čija se dužina meri nedeljama i mesecima – a ne godinama. Biće, takođe, neophodna i finansijska podrška za takvu obuku. Slanje ljudi na dvogodišnje školovanje potrebno do diplome – i to o sopstvenom a ne o trošku kompanije –  nije valjan odgovor na ovaj izazov.

Umesto toga, nano-struke i dosad stečena iskustva će, po svemu sudeći, u budućnosti igrati važnu ulogu. Stručna praksa u nemačkom stilu – koja kombinuje rad u učionici i praktičan rad, i koja učenicima omogućava da zarade platu tokom školovanja mogu se ispostaviti kao značajna rešenja čak i za radnike srednjih godina koji su u tranziciji. Saradnja između kompanija i obrazovnih institucija, kako AT&T (u čijem upravnom odboru radi jedan od autora), Starbucks, kao i druge firme, pokazuju da su u stanju da radnicima pruže nove strukovne veštine ili poboljšanje starih, za kojima je sve veća potražnja.

Možda su neophodni poreski i drugi podsticaji koji bi ohrabrili veća poslovna ulaganja u obuku radne snage, posebno malih i srednjih preduzeća. Vlade će, takođe, morati da ponude univerzalne i prenosive socijalne pogodnosti poput zdravstvene zaštite, brige o deci i penzionog osiguranja, kao i podrške tranziciji radnicima koji su prisiljeni da često menjaju poslove, zanimanja i poslodavce. Švedski saveti za sigurnost radnih mesta, kojima upravlja privatni sektor i koja se finansiraju iz poreza na zarade za kompanije, pružaju radnicima isključenim iz radnog procesa sveobuhvatan paket podrške za dohodak, obuku, učenje i procenu kod socijalnog radnika.

Kao i tehnologije koje su postojale u prošlosti, i automatizacija danas obećava veliko povećanje produktivnosti, i od koje će koristi imati pojedinci, zajednice i društva. Ali, za milione radnika, put ka budućnosti u kojoj je automatizacija sve dominantnija može biti dug i težak. Na nama je da napravimo političke i investicione izbore koji mogu olakšati tranziciju i smanjiti njene troškove, kao i osigurati da se dobit od prihoda ravnomerno raspodeljuje.

U Danskoj, recimo, maksimalna automatizacija i robotizacija doveli su i do pomeranja strukovnih profila, rasta nezaposlenosti nema, a potražnja za “novim” vrstama poslova nezadrživo raste. Danski model mogao bi biti samo početak jednog šireg, globalnog trenda. Problem je, zapravo, u “kašnjenju”, tj permanentnom zaostajanju procesa preobuke, dokvalifikacije ili prekvalifikacije. Permanentno zaostajanje moglo bi se, barem donekle, preduprediti ili ublažiti “obukom unapred”, odnosno, obukom koja bi se sprovodila tokom perioda u kojem nove mašine još uvek nisu uvedene u proizvodni proces. Ovo, međutim, značajno povećava troškove automatizacije i osavremenjivanja radnog procesa.

 

Project Syndicate

Hoće li veštačka inteligencija i hedž fondovi nadmudriti tržište?

Neki hedž-fondovi pohvalili su se da njihovi AI algoritmi donose odluku o tome kako će trgovati – ipak, ma koliko ekstravagantno zvučalo, ovi sistemi su daleko uobičajeniji nego što nam se na prvi pogled čini.

Svakoga dana kompjuteri obave više miliona elektronskih trgovina obavljanjem delikatnih kalkulacija, i to sve sa ciljem zadobijanja makar male prednosti u pogledu brzine i efikasnosti nad takmacima. Ono što je ovde, međutim, daleko značajnije jeste da se odluke u trgovini berzanskim papirima sve češće donose zahvaljujući razvoju još pametnijih, još autonomnijih algoritama.

Obe ove poslovno već dobro utvrđene firme koje se bave trgovinom akcijama na berzi, kao i nekolicina startup firmi istražuju da li bi takve tehnike trgovanja, pozajmljene iz oblasti veštačke inteligencije, mogle da im pomognu kako bi nadmudrili konkurenciju. A svakome ko negde ima uložen novac bi više nego dobrodošlo da sazna da li bi ovaj trend mogao da ozbiljnije izmeni dinamiku tržišta.

Kvantitativni hedž fondovi, uključujući Bridgewater Associates, Renaissance Technologies, ​​D.E. Shaw i Two Sigma, naravno, već nekoliko godina zdušno koriste pristup berzanskoj trgovini kroz napredne algoritme. Mnoge od metoda koje koje ove kompanije koriste mogu se identifikovati u oblasti istraživanja veštačke inteligencije (AI).

U poslednjih nekoliko godina, međutim, takođe je očigledno i ogromno oživljavanje interesovanja za rezultate u oblasti veštačke inteligencije, zahvaljujući novim tehnikama kojima mašine „uče“ kao i za metodu „dubokog učenja“ mašina (primereniji duhu srpskog jezika bio bi izraz „dubinski uvid“ ili, još bolje, „učenje s razumevanjem“; tzv „Deep Learning“) koji obuhvata obuku velikih virtuelnih neuronskih mreža za prepoznavanje obrazaca u podacima. Dubokim učenjem, koje su računari dosad savladali, mašine su trenutno u stanju za potpuno ljudski nivo percepcije slike, teksta i zvuka. Postavlja se pitanje da li današnja veštačka inteligencija može da uradi to isto ali za finansijske podatke: da ih percipira „na naš način“, s tim što bi brzina, referentnost i pouzdanost berzanskih kalkulacija/odluka (kako se naučnici nadaju) bili neslućeno veći.

Jasno je kako je ovaj nedavni napredak privukao pažnju inženjera i stručnjaka koji rade u finansijama. Prošlog decembra se u Montrealu, tokom veoma važnog akademskog događaja okupila svetska elita u istraživanju veštačke inteligencije, na skupu pod nazivom „Sistemi za procesiranje neuralnih informacija“ (Neural Information Processing Systems, NIPS): Nekoliko hiljada istraživača s brojnih univerziteta i iz najrazličitijih industrijskih oblasti tom je prilikom prisustvovalo kako bi razmotrili napredak u razvoju novih algoritama za mašinsko učenje. U oblasti rezervisanoj za slikovne tj poster-prezentacije diplomaca, tehnološki giganti poput Gugla, Fejsbuka, Epla, Majkrosofta, Amazona i IBM-a platili su svoje učešće da bi dobili svoje „stolove za regrutaciju“: prostor na kojem bi obavljali intervjue za zapošljavanje, u nadi da će najveće sveže talente privoleti da dođu da rade za njih. Ipak, ne treba smetnuti s uma da skoro polovina firmi koja je pokušala da regrutuje „mlade nade“ tokom NIPS-a nisu bile tehnološke kompanije već – hedž fondovi i finansijske kompanije.

Jedna od takvih kompanija bila je i velika britanska investiciona firma MAN AHL, koja je već godinama fokusirana na primenu statističkih pristupa radi osmišljavanja što bolje investicione strategije. Entoni Ledford, šef razvojnog sektora ove kompanije objašnjava načine kako se istražuje da li tehnike poput dubokog učenja mogu primeniti na investicije i finansije. “Sve to je još uvek u ranoj fazi”, kaže Ledford. “Obezbedili smo novac za testiranje AI berzanske trgovine. Uz primenu metoda dubokog učenja kod mašina, ukoliko sve bude u redu, započećemo test-trgovinu, kao i ostale primenama koje učenje mašina može naći (u berzanskoj trgovini).”

Brokerske operacije na berzi mogu izgledati kao očigledno mesto za primenu dubokog učenja, ali zapravo nije jasno koliko je uporediv izazov pronalaženja suptilnih obrazaca koji se tiču berzanskih podataka u realnom vremenu sa, recimo, prepoznavanjem lica na digitalnim fotografijama. “Ovaj problem je daleko drugačiji” priznaje Entoni Leford, šef razvoja u MAN AHL.

Iz redova akademskih stručnjaka čuju se tonovi upozorenja. Stiven Roberts, profesor mašinskog učenja na Univerzitetu Oksford kaže da duboko učenje može biti dobro “za ekstrahovanje skrivenih trendova, informacija i odnosa”, ali dodaje da je “još uvek suviše krhko kada je reč o baratanju ishodima visoke neizvesnosti, uz semantički tj značenjski šum na relaciji mašina–čovek, koji prevladavaju u finansijama. ”

Roberts takođe primećuje da duboko učenje može biti proces koji se odvija relativno sporo i koji ne može ponuditi one tipove zagarantovanog tj predvidljivog ponašanja koje drugi statistički pristupi nude. U principu, kako kaže, postoji izvesna medijska bukla oko ideje primene AI u oblasti finansija. “AI je veoma široka tema”, kaže on. “A mnoge standardne statističke tehnike koje se koriste su, shodno tom donekle pomodnom trendu, preimenovani u veštačku inteligenciju i mašinsko učenje.”

Ipak, nove finansijske firme koje se reklamiraju kao AI-orijentisane mogu biti nešto drukčije i unikatne. Ovo uključuje firmu Sentient Technologies iz San Franciska, Rebellion Research u Njujorku, i investicionu kompaniju Aidyia iz Hong Konga.

Jedna od najperspektivnijih upotreba relativno novih AI tehnika mogla bi da se primeni u procesu obrade nestrukturiranih podataka prirodnog jezika, u obliku novinskih članaka, poslovnih izveštaja kompanije i poruka u društvenim medijima, u nastojanju da prikupe uvid u buduće perspektive funkcionisanja preduzeća, valute, robe ili finansijskih instrumenata.

Kompaniju za finansijski AI po imenu osnovao je čuveni istraživač veštačke inteligencije, Ben Goertzel, koji je ujedno i osnivač kompanije Hanson Robotics i Aidyia Holdings, kao i predsednik jednog AI projekta s otvorenim kodom  koji se zove OpenCog. Aidyia je otpočela AI berzansku trgovinu prošle godine, a Goertzel kaže da je pristup njegove kompanije daleko ambiciozniji nego što su to tehnike koje se koriste u većini hedž fondova danas, uzimajući inspiraciju iz evolutivnog programiranja, probabilističke logike, i dinamike haotičnih sistema.

“Naš sistem sadrži niz računarskih unosa, uključujući cene i obim berzanskih transakcija širom sveta, vesti iz različitih izvora na više jezika, makroekonomske i kompanijske računovodstvene podatke i još mnogo toga”, rekao je Goertzel za MIT Technology Review.  “Potom proučava kako su ovi različiti faktori istorijski povezani,  učeći celine sastavljene od desetina hiljada prediktivnih modela koji mogu da poseduju prediktivnu vrednost (stabilno predviđanje budućih kretanja na berzi), a na osnovu svojih istraživanja ranije prikupljenih podataka”, što doprinosi upravljanju ulaganjima kompanije.

Svakako da je prisutan trend ka povećanju automatizacije među finansijskim firmama. Preqin, kompanija koja obezbeđuje podatke iz oblasti finansijske industrije, navodi da je 40 odsto hedž fondova nastalih prošle godine bilo “sistematično”, što znači da se u donošenju svojih odluka oslanjaju na računarski generisane modele.

Međutim, ne dele baš svi uverenje da je AI revolucija u oblasti finansija neminovna. Dejvid Harding, osnivač-milijarder i direktor druge britanske trgovačke kompanije, Winton Capital Management, uglavnom je skeptičan prema svoj toj trendovskoj buci oko mašinskog učenja i veštačke inteligencije. “Ako se malo bolje udubite”, kaže Vinton, “rekao bih da je to manje-više ono što smo radili i u proteklih 30 godina”.

Harding se isto tako seća još jednog sličnog buma čiji su interes i fokus bili na neuronskim mrežama, a koji je rezultirao pojavom brojnih startup firmi tokom ranih 1990-ih.

“Ljudi su počeli da govore kako ‘Postoji neverovatna nova računarska tehnika koje će oduvati sve što je postojalo ranije.” Tu je i moda u primeni genetskih algoritama “, priseća se on. “Pa, mogu da vam kažem da nijedno od tih preduzeća danas ne postoji.”

Ledford, koji radi u kući Man AHL za alternativne vidove investiranja i menadžmenta, takođe ima nekoliko reči upozorenja za svakoga ko misli da najnovije tehnike mašinskog učenja mogu ponuditi neku čudesnu prečicu do bogatstva . “Važno je da zapamtite kako stanje na tržištima može biti nevažno i čak ponižavajuće”, kaže on. “Rekao bih samo još i to da vam je bolje da sebe ne pohvalite previše, ali se isto tako nemojte ni previše obeshrabriti.”

 

Technology Review

Čarolija brojeva: lepota skrivena u matematici

00

Koncept lepote u nauci i matematičkim formulama pojava je koju su zapazili još prvi matematičari. Lepotu i nauku, recimo, jako lepo ilustruje metod pomoću kojeg  matematičari rešavaju kvantnu teoriju ili opisuju gravitaciju. Od formule E = mc² do teorije struna, matematička lepota je hiljadama godina inspirisala fizičare da sastave neke od najzanimljivijih opisa stvarnosti. “Lepota je baklja koju držite u uverenju da će vas napokon dovesti do istine”, kaže ser Majkl Atijah (Michael Atiyah).

Francuski fizičar Pol Dirak

Francuski fizičar Pol Dirak

Pol Dirak (Paul Dirac) je imao oko za lepotu. U jednom eseju iz maja 1963. ovaj britanski nobelovac je devet puta pomenuo lepotu. To je učinio u četiri maha, i to u četiri uzastopne rečenice, dakle „s predumišljajem“. U tom članku, Dirak je predstavio način na koji fizičari vide prirodu. Rečju „lepota“, međutim, nikada nije definisan jedan zalazak sunca, niti jedan cvet, ili priroda u bilo kom tradicionalnom smislu. Dirak je govorio o kvantnoj teoriji i gravitaciji. Lepota leži u matematici.

001Šta to u matematici znači „biti lep“? Ne radi se o izgledu simbola na stranici. To je, u najboljem slučaju, od sekundarne važnosti. Matematika postaje lepa snagom i elegancijom svojih argumenata i formulama; kroz mostove koje gradi između prethodno nepovezanih svetova. Onda kada iznenađuje. Za one koji uče jezik, matematika ima isti kapacitet za lepotu kao umetnosti, muzika, nebo ispunjeno zvezdama u najtamnijoj noći.

“Lagani razvoj Mocartovog koncerta za klarinet je zaista divno muzičko delo, ali ne bismo zbog toga otštampali stranicu s notama i stavili je na zid. Ne radi se o tome da delo nije lepo: Radi se o muzici i idejama, kao i o emocionalnoj reakciji”, kaže Viki Nil (Vicky Neale), matematičarka sa Univerziteta u Oksfordu. “Ista je stvar i s jednim matematičkim delom. Nije u pitanju kako ono vizuelno izgleda, već je u osnovi svega estetika misaonih procesa.”

Skeniranje mozga matematičara pokazuje da njihovo posmatranje formula koje smatraju lepima izaziva u njima aktivnost u istoj emocionalnoj regiji mozga kao i kada se uživa u nekom velikom umetničkom ili muzičkom delu. Što je formula lepša, to je veća aktivnost u medijalnom orbito-frontalnom korteksu. “Što se tiče reakcije našeg mozga, matematika za njega ima istu lepotu kao i umetnosti. Postoji zajednička neurofiziološka osnova”, kaže ser Majkl Atijah (Michael Atiyah), počasni profesor matematike univerziteta u Edinburgu.

01

Pitajte matematičare o najlepšoj jednačini: veoma često bi vam kao iz topa mnogi od njih dali isti odgovor: nju je u 18. veku napisao švajcarski matematičar Leonard Ojler (Leonhard Euler). Ona je kratka i jednostavna: eiπ+1=0. Ona je po mnogim matematičarima savršen uzor urednosti i kompaktnosti, a to je čak i za oko laika koji se ne razume u brojeve i matematičke nauke. Njena lepota, međutim, dolazi iz dubljeg razumevanja postavljenih odnosa: ovde je pet najvažnijih matematičkih konstanti zajedno uvezano u jednu. Ojlerova formula spaja svet kružnica, imaginarne brojeve i eksponencijale.

Lepota zapretena u drugim formulama može biti i očiglednija. Svojom epohalnom formulom E=mc2, Albert Ajnštajn izgradio je most između energije i mase, dva koncepta koja su ranije bila Odvojeni Svetovi. Kosmolog Megi Ejdrin-Pokok (Maggie Aderin-Pocock), ju je prozvala ’najlepšom’. “Zašto je tako lepa? Jer je u pitanju sasvim životna stvar. Od ove formule pa ubuduće,  energija će imati masu, a masa se može pretvoriti u energiju. Ova četiri simbola karakterišu čitav Svet i Svemir. Teško je zamisliti kraću formulu koja poseduje više snage”, kaže Robbert Dijkgraaf, direktor Instituta za napredne studije u Prinstonu, gde je, uzgred, i Ajnštajn takođe predavao, i to među prvima u svojoj oblasti.022

Ajnštajn je bio, takođe, možda i najveći pobornik lepote i estetike matematičkih i fizičkih formula. Večito u sukobu s „kvantašima“, tj pobornicima kvantne fizike, jedan od njegovih argumenata kojeg je neprekidno ponavljao je i taj da „formule kvantnih fizičara nisu lepe“. A to je već po sebi, po njegovom ubeđenju, bio indikator njihove netačnosti (ispostavilo se da nije bio u pravu).

Jedan od razloga za postojanje gotovo objektivne lepote u matematici jeste i to što koristimo reč „lepo“ kako bismo takođe ukazali na njenu sirovu snagu u ideju. Jednačine ili rezultate proizašle iz matematike koji se smatraju lepim, skoro su kao napisane pesme. Snaga svake varijable (tj. promenljive) nešto je što je deo iskustva. Ukoliko se osvrnemo na matematiku ili, recimo, na prirodu, one se po pravilu opisuju sa samo nekoliko simbola – a upravo im to daje grandiozni osećaj elegancije i lepote”, dodaje Dijkgraaf. “Drugi element je osećaj da njena lepota odražava stvarnost. Ona je odraz osećaja za red i uređenost koji su deo zakona prirode. “

017Moć jedne jednačine da poveže domene matematike koji nam izgledaju potpuno neuklopivo i nepovezano je prilično česta pojava. Profesor Markus Du Sotoj (Marcus Du Sautoy) koji na Univerzitetu Oksford predaje matematiku gaji veliki sentiment za Rimanovu formulu koja mu je „slaba tačka“. Bernhard Riman (Bernhard Riemann) je 1859. (iste godine kada je Čarls Darvin zapanjio svet svojom knjigom „O poreklu vrsta“, u kojoj je izložio svoju teoriju evolucije), objavio formulu koja otkriva koliko prostih brojeva (tzv. prim-brojeva ili primova) postoji unutar skupa prirodnih brojeva, gde su primovi celi brojevi deljivi samo sa samim sobom i jedinicom (kao što su 2 , 3, 5, 7 i 11). Dok jedna strana jednačine opisuje proste brojeve, druga je kontrolisana nulom (tj. nulama).004“Ova formula pretvara ove nedeljive proste brojeve, u nešto sasvim drugo”, kaže Du Sotoj. “S jedne strane, imate te nedeljive proste brojeve i onda te Riman vodi na taj svoj put koji vas odvodi negde potpuno neočekivano, do onih stvari koje danas zovemo Rimanovim nulama. Svaka od ovih nula dovodi do zapisa – i to je, onda, kombinacija svih ovih zapisa zajedno, koja nam kazuje kako su prosti sa druge strane raspoređeni po svim brojevima “.

015Pre više od 2.000 godina, drevni grčki matematičar Euklid rešio je numeričku zagonetku na tako divan način da i danas izmamljuje osmeh divljenja – recimo matematičarki Viki Nil, i to svaki put kad joj ova Euklidova padne na pamet. “Kada mislim o lepoti u matematici, moje prve misli nisu vezane za jednačine. Za mene je to mnogo više od prostog argumenta; to je način razmišljanja, specifičan, jedinstveni način na koji se neki dokaz izvodi”, dodaje ona.

Euklid je dokazao da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Kako je to postigao? Počeo je tako što je zamišljao univerzum u kojem količina prostih brojeva nije beskonačna (kada bi, dakle, postojala dovoljno velika tabla, oni bi svi mogli da se popišu kredom).

On se, potom, upitao šta bi se desilo kada bi se svi ovi prosti brojevi zajedno pomnožili: 2x3x5, i tako dalje, sve do kraja liste, a rezultat bi pridodao na broj 1. Ovaj ogroman novi broj nam daje odgovor. Ili je on već sam po sebi prost broj – pa bi tako i inicijalna lista prostih brojeva bila nepotpuna – ili je deljiv sa manjim prostim brojem. Ali, ukoliko Euklidov broj podelimo bilo kojim primom koji je zabeležen na ogromnoj-a-konačnoj-tabli, uvek bi preostala jedinica. Ovaj broj nije deljiv s bilo kojim primom s liste. “Ispostavilo se da u ovoj kalulaciji stvar doterujete do apsurda, kontradikcije”, kaže Nilova. Dakle, početna pretpostavka – da je količina prostih brojeva konačna – mora biti pogrešna.

“Ovaj je dokaz za mene stvarno predivan.Potrebno je samo malko više porazmisliti kako biste se udubili u suštinu, ali, zapravo, ne podrazumeva niti iziskuje godine proučavanja nekih teških matematičkih koncepata. Iznenađujuće je da možeš da dokažeš nešto tako teško na ovako elegantan način”, dodaje Nilova.

008

Evo tog briljantnog Euklidovog rezonovanja samo na blago „zafelširan“ način:

Uzmimo, na primer, da smo se uzjogunili i tvrdimo da su 3 i 5 “jedini prosti brojevi”. OK, kaže Euklid, pomnožimo onda 3 i 5 i rezultatu dodajmo jedinicu, tj., 3×5+1=16.  Ha, broj 16 nije deljiv sa 3 ili 5, ali je deljiv sa 2, a 2 nije deljiv nijednim drugim brojem osim samim sobom, dakle prost je. Sada moramo popustiti i priznati da naš novi skup prostih brojeva mora da sadrži i dvojku, tj. prosti brojevi su sada 2, 3 i 5.

Odlično, pomnožimo sada sve te proste brojeve i dodajmo rezultatu jedinicu, tj., 2x3x5+1=31. Aha, 31 je broj koji je deljiv jedino samim sobom, prema tome prost je. Naš skup “jedinih prostih brojeva” mora da uključi i broj 31, tj. on sada sadrži brojeve 2, 3, 5 i 31. Ovakvim postupkom možemo od bilo kog konačnog skupa prostih brojeva generisati nove i nove proste brojeve i to tako da je, množenjem “svih prostih brojeva” i dodavanjem jedinice, dobijen ili novi prost broj (kao što je broj 31 u gornjem primeru) ili složen broj koji je deljiv nekim prostim brojem koji se ne nalazi u našem polaznom skupu (kao što je bio slučaj sa brojem 2 u gornjem primeru). I tako do beskonačnosti. Dakle, prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Koliko god daleko išli po brojnoj osi, uveć ćemo naići na neki prost broj. Phew.

19Da pogledamo ponovo našu listu prostih brojeva manjih od sto: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97… Primetimo odmah da prostih brojeva manjih od 100 ima manje nego prirodnih brojeva  manjih od 100,  te da se “razređuju” na neki način:  recimo, u dekadi od 10 do 20 ima ih četiri (11, 13, 17, 19), dok ih u dekadi od 20 do 30 ima samo dva (23 i 29), itd. Bez obzira što su prosti brojevi “ređi” od prirodnih brojeva – ili od parnih brojeva, svejedno – njih ipak ima podjednako “beskonačno mnogo” koliko i prirodnih brojeva.

Ipak, postoji beskonačno i postoji beskonačno. Na primer stepena broja 2 ima takođe beskonačno mnogo na brojnoj osi, ali između brojeva 1 i 1000 njih ima tačno deset: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Prostih brojeva u istom intervalu ima 72 komada.

U teoriji brojeva, i u matematici uopšte, prosti brojevi su izuzetno značajni zbog sledeće ognjene teoreme: Svaki prirodan broj može da se na jedinstven način napiše kao proizvod prostih brojeva. Fundamentalna stvar. Imam bilo koji broj i on može da se jednoznačno razloži na proizvod svojih faktora. Na primer, 15=3×5, ili 60=2x2x3x5, itd.

08

Iza estetski izuzetno prijatnih tj lepih procesa nalazi se izuzetno lepa matematika. Pa, barem ponekad, ako ništa drugo. Hana Fraj (Hannah Fry), predavačica egzotičnog predmeta pod nazivom „matematika gradova“ na UCL godinama je kvarila vid zureći u Navje-Stouksove jednačine (Navier-Stokes). “One su jedna posebna matematička rečenica koja je u stanju da opiše čudesno lepo i raznoliko ponašanje gotovo svih tečnosti na planeti Zemlji”, kaže ona. Shvatanjem ove formule, možemo potom razumeti ponašanje svih fluida, svih elemenata u tečnom agregatnom stanju: protok krvi u telu, kako brodovi klize kroz vodu, ili kako da napravimo sjajne čokoladne prelive.

17U svom eseju iz 1963. godine, Dirak je uzdigao lepotu sa estetskog nivoa na nešto daleko više (ili, možda, dublje): na put ka Istini. “Daleko je važnije imati lepotu u jednoj jednačini nego je primeniti u eksperimentu”, napisao je on, nastavljajući: “Čini se da, ako se deluje i razmišlja sa stanovišta kreiranja lepote u jednačinama, i ukoliko se sluša sopstveni unutarnji glas, onda tu sigurno postoji linija napretka.” Na prvi pogled šokantna izjava, Dirak je njom definisao ono što je danas postalo uobičajeno matematičko razmišljanje: kada neka lepa jednačina izgleda u suprotnosti sa prirodom, krivica leži ne na matematici već na njenoj primeni na pogrešni aspekt prirode.

“Istina i lepota su usko povezani, ali nisu isto”, kaže Atijah. “Nikada niste sigurni da li imate istinu „u rukavu“. Sve što možemo da učinimo je da neprekidno težimo ka sve boljim i savršenijim istinama, a svetlost koja vas na tom putu vodi je – lepota. Lepota je baklja koju držite pred sobom i pratite stazu koju ona osvetljava, u uverenju da će vas napokon dovesti do istine.”

Nešto što je blisko veri u matematičkoj lepoti je fizičare konačno dovelo do osmišljavanja dva najzanimljivija opisa stvarnosti: prvi je supersimetrija, a drugi teorija struna (a potom na nju nadograđena i teorija superstruna). U Supersimetričnom svemiru, svaki poznati tip čestice ima svog težeg, nevidljivog blizanca. Po teoriji struna, realnost ima 10 dimenzija, ali je njih šest „sklupčano“ tako čvrsto da su (za sada) skriveni od nas i naše tehnologije. Matematika koja stoji iza obe teorije se veoma često opisuje kao lepa, ali uopšte nije jasno da li je to tačno – u svakom slučaju, ima mnogo onih koji misle da ove teorije poseduju ogromnu matematičku lepotu.006Ovde matematičare neprekidno vreba opasnost. Lepota je nepouzdan vodič. “Možete, bukvalno, biti zavedeni nečim što nije tačno. I to je rizik koji preuzimate”, kaže Dijkgraaf koji radi u institutu čiji je moto “Istina i lepota”, dok su na grbu iscrtane jedna naga i jedna obučena žena. “Ponekad pomislim da fizičari, kao nekada Odisej, moraju da se privežu za brodski jarbol kako ih ne bi zavele zavodljive sirene matematike.”

Može biti da su matematičari i naučnici još jedini koji bez oklevanja koriste reč “lepo”. Nju retko koriste i književni, umetnički ili muzički kritičari, koji možda strahuju da će zvučati previše „prostosrdačno“, odnosno da će ovaj pojam biti shvaćen kao površan, ili, čak, kao – kič.

“Veoma sam ponosan što je u matematici i nauci još uvek prisutan koncept lepote. Mislim da je to neverovatno važan koncept u našim životima”, kaže Dijkgraaf. “Osećaj lepote koji doživljavamo u matematici i nauci je višedimenzionalni osećaj lepote. Ne razmišljamo da li je u bilo kakvom sukobu s onim što je duboko, ili zanimljivo, ili moćno, ili značajno i sa smislom. Za matematičara, sve je obuhvaćeno ovom jednom rečju: lepota.”

Gardijan