Fibonačijevi magični brojevi


10

Leonardo Bigollo (Leonardo Pisano ili de Piza; Leonardo Pizanski, Leonardo od Pize) bio je matematičar koji je živeo u Italiji na prelazu između 12. i 13. stoleća (1170-1240), ličnost koja je prva okrenula leđa sistemu rimskih brojeva koji su u njegovo vreme prevladavali. Leonardo je u istoriji bio poznat po nadimku Fibonacci, što je derivat dve reči (fillius + bonnacci, što na latinskom i italijanskom u miksu dobija značenje “sin dobronamernog”. Očigledno da je Leonardov otac Guljelmo (Guglielmo) bio poznat kao dobra osoba i znameniti trgovac koji je često putovao po Severnoj Africi. Tamo je, tokom svojih putovanja s ocem, njegov sin Leonardo i otkrio magiju arapskih brojeva i matematike.

24Hindu-arapski sistem brojanja prešao je iz Indije u Persiju a potom na Bliski Istok i u Severnu Afriku, odakle je „doskočio“ i na evropsko tle, pre svega zahvaljujući između ostalih i Fibonačiju. Pizanova ideja korišćenja arapskih brojeva sadržavala je mogućnost rada sa celim brojevima ili razlomcima, deljenje brojeva na proste činioce, kvadratni koren, itd. Uprkos brojnim prednostima i velikoj praktičnosti, usvojiti ovaj sistem nije bilo lako. Krstaški ratovi protiv islama koji su se u to vreme odigravali stavljali su pod sumnju što je bilo označeno kao “arapsko”. Arapski brojevi su 1299. u Firenci čak bili i zabranjeni, uz obrazloženje da ih je „lakše falsifikovati nego rimske brojeve”.

Zahvaljujući očevom poslu, Leonardu Fibonačiju je pružena prilika da se susreće s velikim matematičarima koji su se nalazili izvan tzv. „istočnog kruga“ (Egipat, Sirija, Alžir, Grčka, itd), i s kojima je njegov otac svakodnevno dolazio u kontakt tokom dugih putovanja kroz arapske zemlje i Mediteran. Kasnije se vratio u Italiju, a kada mu je bilo 32 godine objavio je knjigu Liber Abaci (1202), u kojoj je objasnio značaj arapskog sistema numerisanja i njihovu primenu na najrazličitije svakodnevne situacije tokom trgovine i trgovačkog računanja. Ovim je, zapravo, želeo da dokaže da bi Evropljanima bilo nepojamno praktičnije ukoliko bi počeli da se koriste arapskim a ne rimskim numeričkim sistemom: Arapski sistem bio je nenadmašan u radu sa stranim valutama, vođenju trgovačkih knjiga (tj današnjem računovodstvu), pri merenju i pretvaranju težinskih mera, itd. Četvrt veka kasnije (1227), objavio je drugo izdanje iste knjige koja je danas postala referentna verzija “Liber abaćija” jer ručno pisane kopije prvog izdanja iz 1202. ne postoje (naslov znači “Knjiga računanja”, mada je neki pogrešno prevode kao “Knjiga abakusa”; “abaci” ili “abacci” je talijanska reč za arapsku računaljku koja je u to vreme bila pojam za računske operacije. Danas postoji samo II izdanje iz 1227. dok su primerci prvog izdanja u celosti izgubljeni).

22

Federiko Drugi Hohenštaufenski (Federico II de Hohenstaufen, 1194-1250) bio je Sveti rimski car u trenutku kada je doznao za Fibonačijev rad, sve to zahvaljujući korespondenciji koju je po svom povratku u Italiju ovaj matematičar održavao s nekim od članova carevog Suda. Među njima je bio i Majkl Skot (Michael Scotus), astrolog kojem se Pizano divio i kome je posvetio drugo izdanje svoje i danas poznate knjige. Johan Palermski (Johnanes of Palermo) je pred tim Sudom postavio Fibonačiju jedan matematički problem koji će mu zauvek urezati mesto u istoriji.

Čovek stavi dva zeca u prostor okružen zidom sa svih strana. Koliko je parova zečeva moguće proizvesti iz ovog para za godinu dana, ako svakog meseca svaki par novih zečeva na svet donese još jedan par, koji se može reprodukovati svakog drugog meseca?

Fibonači je prihvatio izazov; rešio je taj problem, a rešenje objavio u radu pod nazivom “Flos” (1225). Tom prilikom razvio je numerički niz koji će u istoriji biti usvojen kao Fibonačijev niz. Ovaj niz brojeva počinje sa 0 i 1, a odatle je svaki element – ili Fibonačijev broj – zbir prethodna dva.

30

Fibonačijev niz predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule, a prva dva člana su mu 0 i 1.

To jest, nakon dve početne vrednosti, svaki sledeći broj je zbir dvaju prethodnih. Prvi Fibonačijevi brojevi takođe su označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , pa su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

01Fibonačijevi brojevi, a u stvari celokupan matematički princip – u zapadnoj matematici predstavljeni kao konstanta fi (∅), i to po čuvenom vajaru Fidiji koji se u izgradnji grčkog Panteona i skulptura ovog hrama koje su se u koristio proporcijom 1 : 1.6. Dakle, konstanta „fi“ nije dobila svoj naziv po Fibonačiju. Uz to, treba reći i da je dokazano kako je ova konstanta bila daleko ranije opisana, i to u Indiji.

I tako je Leonardo uspešno predstavio reproduktivni ciklus kod zečeva, iako je to veštački model u slučaju ovih životinja (a biološki gledano, to i nije sasvim tačno), savršeno se po tome uklapajući sa reproduktivnim modelom pčela. U košnici, samo je kraljica ta koja ima moć reprodukcije: Ona je jedina koja polaže jaja.31

Ako su oplođene, rađaju se ženke, sa 50% genetskog materijala kojeg pruža majka („Kraljica“), i sa drugih 50% koji potiču s očeve strane. Trutovi ili muške pčele nastaju od neoplođenih jaja. Zbog toga,ženske pčele radilice imaju dva roditelja, dok trutovi imati jednog: 100% njihove genetske informacije obezbeđuje majka.

001Pčele nisu jedini izuzetak, a ovi brojevi, kao matematički princip, stoje iza mnogovrsnih fenomena prirode: Fibonačijev niz nalazi se u rasporedu cvetnih latica, u nastanku uragana itd.

Fibonačijev niz se često nazivaju i “Božanskom razmerom”. Uzmemo li jedan deo Fibonačijevog niza (2, 3, 5, 8), i podelimo li svaki sledeći broj s njemu prethodnim, dobićemo uvek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približavaju broju fi.

Sledi nekoliko primera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

U pčelinjoj zajednici, košnici, uvek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvek bi dobili broj fi.

14

Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bismo izračunali odnos svakog spiralnog segmenta i njegovih razmera u odnosu prema narednom segmentu, dobili bismo broj fi.

Seme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promera rotacije je broj fi.

Izmerimo li čovečju dužinu od vrha glave do poda, a zatim to podelimo s dužinom od pupka do poda – dobijamo broj fi.

Kako je to moguće? Jesu li ovi slučajevi plod „abrakadabra“ kombinacije u matematici? Misterija koja leži iza ovog niza brojeva kojem je, izgleda, predodređeno da bude upisan u matematičke osnove svega što nas okružuje (ili barem u mnogim stvarima koje postoje oko nas) uvek nanovo fasciniraju stručnjake iz raznih oblasti nauke, a tu su čak i publikacije specijalizovane za pronalaženje novih oblasti i problema povezanih sa ovim nizom i konstantom fi.

Čak i nekoliko vekova kasnije, Johan Kepler (1571-1630) je bio trajno fasciniran istraživanjima ovog niza da bi, stolećima kasnije, razvio koncept koji je u istoriju matematike ušao kao “Božanska konstanta”, zapisana u njegovoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” (1611).

23Ali koliko “magije” ima u čuvenom Fibonačijevom nizu? U kom trenutku je Pizanac ovaj princip opisao kao svoju „ekskluzivu“, kao i proporcije među brojevima koje ih dovode u međusobni odnos? Istorija je ostavila tragove o prethodnim referencama koje se odnose na njegovu kasniju formulu, kao što je slučaj s nekolikim indijskim matematičarima: Gopalom (1135) i Hemačandrom (1150), koji su ovaj „Božanski odnos“ već pominjali u svojim spisima – i to nekoliko decenija pre nego što je Fibonači bio rođen.

Kepler je otkrio ovaj redosled koristeći se odnosom koji već postoji među postojećim uzastopnim članovima niza. Dva je prema broju 3 je ono što je 3 za 5, a petica za osmicu, i tako dalje sa svim elementima. Prema tome, postoji udeo-odnos-proporcija (Božanska konstanta: proporcija koja je zdušno korišćena u renesansnoj umetnosti kao „Zlatni presek“); ovaj niz se stalno održava tokom deljenja brojeva: bitno je da je proporcija izražena konstantom „fi“ ista u svakom slučaju, bez obzira da li je zdanje građeno po principima Zlatnog preseka gigantska ili je minijaturnih razmera. Ova proporcija je predstavljena brojem fi (u čast grčkog vajara Fidije, da ponovimo – a ne Fibonačija!):  φ = 1.618.

16Zlatni presek se javlja kao proporcija rastućih oblika u prirodi i vekovima je privlačio pažnju matematičara i umetnika. Odnos Zlatnog preseka se dobija ako se jedna duž podeli na takav način da je odnos većeg dela prema celom isti kao i odnos manjeg dela prema većem: 0.6180339887…

Neprekidnu podelu zlatnog preseka zapažamo u samoj prirodi na mnoštvu biljaka, koliko u opštem sklopu toliko i u njihovim delovima, cvetovima, listovima (npr ljutić, rastavić, itd) a u zapanjujućem savršenstvu u ljušturama morskih puževa kao što je npr Nautilus). Zlatni presek se jasno manifestuje u sklopu ljudskog tela. Proporcionisanje čovečje figure sastoji se u što tačnijoj konstrukciji Zlatnog preseka u neprekidnom odmeravanju minora na majoru, kao i u primeni ovako dobijenih mera na odgovarajuće delove i dimenzije tela.

Danas je opšte prihvaćeno mišljenje da je grčki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepšu proporciju za najprikladnije oblike arhitekture. Proporcija Zlatnog preseka je traženi zakon lepote koji se nalazi u skladnosti i srazmernosti između pojedinih delova kao i delova u celini. Kroz istoriju je pravougaonik čiji je odnos među susednim stranicama u odnosu Φ=1.618033988749895… smatran najprijatnijim za oči. Grčki vajar Fidija izgradio je Partenon i mnoge figure na njemu u proporciji Zlatnog preseka.

Zlatni presek primenjen je na najlepšim grčkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima.

21Platon je pisao “da se dve stvari na lep način sjedine bez nečeg trećeg. Između njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se može najbolje izvršiti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja onaj srednji odnosi prema najmanjem kao najveći prema srednjem i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najvećem, onda će poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nužno isto, a budući da je isto čini jedno jedino.”

Opis pristaje, kao što se uočava, pojmu zlatnog preseka. Zlatni presek, kao proporcijski ili sistem srazmera, korišćen je u praksi i na istoku i na zapadu, nekada tačno a ponekad s izvesnim odstupanjem. Keopsova piramida, gotske katedrale i mnoge druge poznate građevine sadrže u sebi proporciju Zlatnog preseka.

I ovde se priča o Fibonačiju završava – da bi se opet, u beskrajnom nizu, potvrđivala i trajala kao Zakon Prirode.

28U svojoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” („O šestougaonoj pahulji“, 1611.) Kepler je definisao značaj ove proporcije i niza koji se, prema njegovim rečima, na sličan način razvija u reproduktivnom procesu i koji se može uspešno održavati. Ideja Keplera o biološkom auto-replikativnom (tj. samoobnavljajućem, ili samooplođujućem) procesu koji se odvija po Fibonačijevom nizu je do ne tako davno ignorisan od strane biologa, kada je raspored listova filotaksisa (Phyllotaxis) na stablu i naučno učvrstio ovu teoriju. .

Međutim, kako god da je došlo do ovog naučnog uvida, njegovo otkriće numeričkog niza – kojim je uzdigao ideju o Božanskim proporcijama – bila je više nego dovoljna za Fibonačijevu besmrtnost u „reci vremena“, baš kao i u sećanju njegovih kolega matematičara. U Pizi je u 19. veku podignuta statua u njegovu čast, a može se danas posetiti na Gradskom groblju, na Trgu čuda (Piazza dei Miracoli). Ne postoji mnogo informacija o poznom dobu njegovog života, iako je dekretom Pizanske republike 1240. Leonardu odobrena doživotna plata, u znak priznanja stečenog na funkciji gradskog savetnika za računovodstvo i finansije.

BBVA OpenMind

 

Čarolija brojeva: lepota skrivena u matematici


00

Koncept lepote u nauci i matematičkim formulama pojava je koju su zapazili još prvi matematičari. Lepotu i nauku, recimo, jako lepo ilustruje metod pomoću kojeg  matematičari rešavaju kvantnu teoriju ili opisuju gravitaciju. Od formule E = mc² do teorije struna, matematička lepota je hiljadama godina inspirisala fizičare da sastave neke od najzanimljivijih opisa stvarnosti. “Lepota je baklja koju držite u uverenju da će vas napokon dovesti do istine”, kaže ser Majkl Atijah (Michael Atiyah).

Francuski fizičar Pol Dirak

Francuski fizičar Pol Dirak

Pol Dirak (Paul Dirac) je imao oko za lepotu. U jednom eseju iz maja 1963. ovaj britanski nobelovac je devet puta pomenuo lepotu. To je učinio u četiri maha, i to u četiri uzastopne rečenice, dakle „s predumišljajem“. U tom članku, Dirak je predstavio način na koji fizičari vide prirodu. Rečju „lepota“, međutim, nikada nije definisan jedan zalazak sunca, niti jedan cvet, ili priroda u bilo kom tradicionalnom smislu. Dirak je govorio o kvantnoj teoriji i gravitaciji. Lepota leži u matematici.

001Šta to u matematici znači „biti lep“? Ne radi se o izgledu simbola na stranici. To je, u najboljem slučaju, od sekundarne važnosti. Matematika postaje lepa snagom i elegancijom svojih argumenata i formulama; kroz mostove koje gradi između prethodno nepovezanih svetova. Onda kada iznenađuje. Za one koji uče jezik, matematika ima isti kapacitet za lepotu kao umetnosti, muzika, nebo ispunjeno zvezdama u najtamnijoj noći.

“Lagani razvoj Mocartovog koncerta za klarinet je zaista divno muzičko delo, ali ne bismo zbog toga otštampali stranicu s notama i stavili je na zid. Ne radi se o tome da delo nije lepo: Radi se o muzici i idejama, kao i o emocionalnoj reakciji”, kaže Viki Nil (Vicky Neale), matematičarka sa Univerziteta u Oksfordu. “Ista je stvar i s jednim matematičkim delom. Nije u pitanju kako ono vizuelno izgleda, već je u osnovi svega estetika misaonih procesa.”

Skeniranje mozga matematičara pokazuje da njihovo posmatranje formula koje smatraju lepima izaziva u njima aktivnost u istoj emocionalnoj regiji mozga kao i kada se uživa u nekom velikom umetničkom ili muzičkom delu. Što je formula lepša, to je veća aktivnost u medijalnom orbito-frontalnom korteksu. “Što se tiče reakcije našeg mozga, matematika za njega ima istu lepotu kao i umetnosti. Postoji zajednička neurofiziološka osnova”, kaže ser Majkl Atijah (Michael Atiyah), počasni profesor matematike univerziteta u Edinburgu.

01

Pitajte matematičare o najlepšoj jednačini: veoma često bi vam kao iz topa mnogi od njih dali isti odgovor: nju je u 18. veku napisao švajcarski matematičar Leonard Ojler (Leonhard Euler). Ona je kratka i jednostavna: eiπ+1=0. Ona je po mnogim matematičarima savršen uzor urednosti i kompaktnosti, a to je čak i za oko laika koji se ne razume u brojeve i matematičke nauke. Njena lepota, međutim, dolazi iz dubljeg razumevanja postavljenih odnosa: ovde je pet najvažnijih matematičkih konstanti zajedno uvezano u jednu. Ojlerova formula spaja svet kružnica, imaginarne brojeve i eksponencijale.

Lepota zapretena u drugim formulama može biti i očiglednija. Svojom epohalnom formulom E=mc2, Albert Ajnštajn izgradio je most između energije i mase, dva koncepta koja su ranije bila Odvojeni Svetovi. Kosmolog Megi Ejdrin-Pokok (Maggie Aderin-Pocock), ju je prozvala ’najlepšom’. “Zašto je tako lepa? Jer je u pitanju sasvim životna stvar. Od ove formule pa ubuduće,  energija će imati masu, a masa se može pretvoriti u energiju. Ova četiri simbola karakterišu čitav Svet i Svemir. Teško je zamisliti kraću formulu koja poseduje više snage”, kaže Robbert Dijkgraaf, direktor Instituta za napredne studije u Prinstonu, gde je, uzgred, i Ajnštajn takođe predavao, i to među prvima u svojoj oblasti.022

Ajnštajn je bio, takođe, možda i najveći pobornik lepote i estetike matematičkih i fizičkih formula. Večito u sukobu s „kvantašima“, tj pobornicima kvantne fizike, jedan od njegovih argumenata kojeg je neprekidno ponavljao je i taj da „formule kvantnih fizičara nisu lepe“. A to je već po sebi, po njegovom ubeđenju, bio indikator njihove netačnosti (ispostavilo se da nije bio u pravu).

Jedan od razloga za postojanje gotovo objektivne lepote u matematici jeste i to što koristimo reč „lepo“ kako bismo takođe ukazali na njenu sirovu snagu u ideju. Jednačine ili rezultate proizašle iz matematike koji se smatraju lepim, skoro su kao napisane pesme. Snaga svake varijable (tj. promenljive) nešto je što je deo iskustva. Ukoliko se osvrnemo na matematiku ili, recimo, na prirodu, one se po pravilu opisuju sa samo nekoliko simbola – a upravo im to daje grandiozni osećaj elegancije i lepote”, dodaje Dijkgraaf. “Drugi element je osećaj da njena lepota odražava stvarnost. Ona je odraz osećaja za red i uređenost koji su deo zakona prirode. “

017Moć jedne jednačine da poveže domene matematike koji nam izgledaju potpuno neuklopivo i nepovezano je prilično česta pojava. Profesor Markus Du Sotoj (Marcus Du Sautoy) koji na Univerzitetu Oksford predaje matematiku gaji veliki sentiment za Rimanovu formulu koja mu je „slaba tačka“. Bernhard Riman (Bernhard Riemann) je 1859. (iste godine kada je Čarls Darvin zapanjio svet svojom knjigom „O poreklu vrsta“, u kojoj je izložio svoju teoriju evolucije), objavio formulu koja otkriva koliko prostih brojeva (tzv. prim-brojeva ili primova) postoji unutar skupa prirodnih brojeva, gde su primovi celi brojevi deljivi samo sa samim sobom i jedinicom (kao što su 2 , 3, 5, 7 i 11). Dok jedna strana jednačine opisuje proste brojeve, druga je kontrolisana nulom (tj. nulama).004“Ova formula pretvara ove nedeljive proste brojeve, u nešto sasvim drugo”, kaže Du Sotoj. “S jedne strane, imate te nedeljive proste brojeve i onda te Riman vodi na taj svoj put koji vas odvodi negde potpuno neočekivano, do onih stvari koje danas zovemo Rimanovim nulama. Svaka od ovih nula dovodi do zapisa – i to je, onda, kombinacija svih ovih zapisa zajedno, koja nam kazuje kako su prosti sa druge strane raspoređeni po svim brojevima “.

015Pre više od 2.000 godina, drevni grčki matematičar Euklid rešio je numeričku zagonetku na tako divan način da i danas izmamljuje osmeh divljenja – recimo matematičarki Viki Nil, i to svaki put kad joj ova Euklidova padne na pamet. “Kada mislim o lepoti u matematici, moje prve misli nisu vezane za jednačine. Za mene je to mnogo više od prostog argumenta; to je način razmišljanja, specifičan, jedinstveni način na koji se neki dokaz izvodi”, dodaje ona.

Euklid je dokazao da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Kako je to postigao? Počeo je tako što je zamišljao univerzum u kojem količina prostih brojeva nije beskonačna (kada bi, dakle, postojala dovoljno velika tabla, oni bi svi mogli da se popišu kredom).

On se, potom, upitao šta bi se desilo kada bi se svi ovi prosti brojevi zajedno pomnožili: 2x3x5, i tako dalje, sve do kraja liste, a rezultat bi pridodao na broj 1. Ovaj ogroman novi broj nam daje odgovor. Ili je on već sam po sebi prost broj – pa bi tako i inicijalna lista prostih brojeva bila nepotpuna – ili je deljiv sa manjim prostim brojem. Ali, ukoliko Euklidov broj podelimo bilo kojim primom koji je zabeležen na ogromnoj-a-konačnoj-tabli, uvek bi preostala jedinica. Ovaj broj nije deljiv s bilo kojim primom s liste. “Ispostavilo se da u ovoj kalulaciji stvar doterujete do apsurda, kontradikcije”, kaže Nilova. Dakle, početna pretpostavka – da je količina prostih brojeva konačna – mora biti pogrešna.

“Ovaj je dokaz za mene stvarno predivan.Potrebno je samo malko više porazmisliti kako biste se udubili u suštinu, ali, zapravo, ne podrazumeva niti iziskuje godine proučavanja nekih teških matematičkih koncepata. Iznenađujuće je da možeš da dokažeš nešto tako teško na ovako elegantan način”, dodaje Nilova.

008

Evo tog briljantnog Euklidovog rezonovanja samo na blago „zafelširan“ način:

Uzmimo, na primer, da smo se uzjogunili i tvrdimo da su 3 i 5 “jedini prosti brojevi”. OK, kaže Euklid, pomnožimo onda 3 i 5 i rezultatu dodajmo jedinicu, tj., 3×5+1=16.  Ha, broj 16 nije deljiv sa 3 ili 5, ali je deljiv sa 2, a 2 nije deljiv nijednim drugim brojem osim samim sobom, dakle prost je. Sada moramo popustiti i priznati da naš novi skup prostih brojeva mora da sadrži i dvojku, tj. prosti brojevi su sada 2, 3 i 5.

Odlično, pomnožimo sada sve te proste brojeve i dodajmo rezultatu jedinicu, tj., 2x3x5+1=31. Aha, 31 je broj koji je deljiv jedino samim sobom, prema tome prost je. Naš skup “jedinih prostih brojeva” mora da uključi i broj 31, tj. on sada sadrži brojeve 2, 3, 5 i 31. Ovakvim postupkom možemo od bilo kog konačnog skupa prostih brojeva generisati nove i nove proste brojeve i to tako da je, množenjem “svih prostih brojeva” i dodavanjem jedinice, dobijen ili novi prost broj (kao što je broj 31 u gornjem primeru) ili složen broj koji je deljiv nekim prostim brojem koji se ne nalazi u našem polaznom skupu (kao što je bio slučaj sa brojem 2 u gornjem primeru). I tako do beskonačnosti. Dakle, prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Koliko god daleko išli po brojnoj osi, uveć ćemo naići na neki prost broj. Phew.

19Da pogledamo ponovo našu listu prostih brojeva manjih od sto: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97… Primetimo odmah da prostih brojeva manjih od 100 ima manje nego prirodnih brojeva  manjih od 100,  te da se “razređuju” na neki način:  recimo, u dekadi od 10 do 20 ima ih četiri (11, 13, 17, 19), dok ih u dekadi od 20 do 30 ima samo dva (23 i 29), itd. Bez obzira što su prosti brojevi “ređi” od prirodnih brojeva – ili od parnih brojeva, svejedno – njih ipak ima podjednako “beskonačno mnogo” koliko i prirodnih brojeva.

Ipak, postoji beskonačno i postoji beskonačno. Na primer stepena broja 2 ima takođe beskonačno mnogo na brojnoj osi, ali između brojeva 1 i 1000 njih ima tačno deset: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Prostih brojeva u istom intervalu ima 72 komada.

U teoriji brojeva, i u matematici uopšte, prosti brojevi su izuzetno značajni zbog sledeće ognjene teoreme: Svaki prirodan broj može da se na jedinstven način napiše kao proizvod prostih brojeva. Fundamentalna stvar. Imam bilo koji broj i on može da se jednoznačno razloži na proizvod svojih faktora. Na primer, 15=3×5, ili 60=2x2x3x5, itd.

08

Iza estetski izuzetno prijatnih tj lepih procesa nalazi se izuzetno lepa matematika. Pa, barem ponekad, ako ništa drugo. Hana Fraj (Hannah Fry), predavačica egzotičnog predmeta pod nazivom „matematika gradova“ na UCL godinama je kvarila vid zureći u Navje-Stouksove jednačine (Navier-Stokes). “One su jedna posebna matematička rečenica koja je u stanju da opiše čudesno lepo i raznoliko ponašanje gotovo svih tečnosti na planeti Zemlji”, kaže ona. Shvatanjem ove formule, možemo potom razumeti ponašanje svih fluida, svih elemenata u tečnom agregatnom stanju: protok krvi u telu, kako brodovi klize kroz vodu, ili kako da napravimo sjajne čokoladne prelive.

17U svom eseju iz 1963. godine, Dirak je uzdigao lepotu sa estetskog nivoa na nešto daleko više (ili, možda, dublje): na put ka Istini. “Daleko je važnije imati lepotu u jednoj jednačini nego je primeniti u eksperimentu”, napisao je on, nastavljajući: “Čini se da, ako se deluje i razmišlja sa stanovišta kreiranja lepote u jednačinama, i ukoliko se sluša sopstveni unutarnji glas, onda tu sigurno postoji linija napretka.” Na prvi pogled šokantna izjava, Dirak je njom definisao ono što je danas postalo uobičajeno matematičko razmišljanje: kada neka lepa jednačina izgleda u suprotnosti sa prirodom, krivica leži ne na matematici već na njenoj primeni na pogrešni aspekt prirode.

“Istina i lepota su usko povezani, ali nisu isto”, kaže Atijah. “Nikada niste sigurni da li imate istinu „u rukavu“. Sve što možemo da učinimo je da neprekidno težimo ka sve boljim i savršenijim istinama, a svetlost koja vas na tom putu vodi je – lepota. Lepota je baklja koju držite pred sobom i pratite stazu koju ona osvetljava, u uverenju da će vas napokon dovesti do istine.”

Nešto što je blisko veri u matematičkoj lepoti je fizičare konačno dovelo do osmišljavanja dva najzanimljivija opisa stvarnosti: prvi je supersimetrija, a drugi teorija struna (a potom na nju nadograđena i teorija superstruna). U Supersimetričnom svemiru, svaki poznati tip čestice ima svog težeg, nevidljivog blizanca. Po teoriji struna, realnost ima 10 dimenzija, ali je njih šest „sklupčano“ tako čvrsto da su (za sada) skriveni od nas i naše tehnologije. Matematika koja stoji iza obe teorije se veoma često opisuje kao lepa, ali uopšte nije jasno da li je to tačno – u svakom slučaju, ima mnogo onih koji misle da ove teorije poseduju ogromnu matematičku lepotu.006Ovde matematičare neprekidno vreba opasnost. Lepota je nepouzdan vodič. “Možete, bukvalno, biti zavedeni nečim što nije tačno. I to je rizik koji preuzimate”, kaže Dijkgraaf koji radi u institutu čiji je moto “Istina i lepota”, dok su na grbu iscrtane jedna naga i jedna obučena žena. “Ponekad pomislim da fizičari, kao nekada Odisej, moraju da se privežu za brodski jarbol kako ih ne bi zavele zavodljive sirene matematike.”

Može biti da su matematičari i naučnici još jedini koji bez oklevanja koriste reč “lepo”. Nju retko koriste i književni, umetnički ili muzički kritičari, koji možda strahuju da će zvučati previše „prostosrdačno“, odnosno da će ovaj pojam biti shvaćen kao površan, ili, čak, kao – kič.

“Veoma sam ponosan što je u matematici i nauci još uvek prisutan koncept lepote. Mislim da je to neverovatno važan koncept u našim životima”, kaže Dijkgraaf. “Osećaj lepote koji doživljavamo u matematici i nauci je višedimenzionalni osećaj lepote. Ne razmišljamo da li je u bilo kakvom sukobu s onim što je duboko, ili zanimljivo, ili moćno, ili značajno i sa smislom. Za matematičara, sve je obuhvaćeno ovom jednom rečju: lepota.”

Gardijan

Globalizacija: niko nije savršen


000

Mi još nismo okončali žučne rasprave za i protiv globalizacije, a na tzv. Zapadu vrve naslovi: “Kraj globalizacije”, “Znači li Brexit kraj globalizacije”, “Kraj globalizacije kakvu smo znali” i da nabrajanje prekratim simpatičnim naslovom – “Gubitnici globalizacije uzvraćaju udarac”. Tek kad se malo razgrnu ta obilja tekstova vidi se da je reč o dva poimanja globalizacije. Jedan je onaj klasični i zaista globalni, a drugi evropocentrični, provincijalno zagledan u sopstveni pupak, gde se odlazak Britanije shvata kao kraj globalizacije. U oba slučaja priča o kraju nosi medijsku antiglobalizacionu pripremu za opravdavanje podrivanja procesa putem regionalizacije. Nastaju zone za zaobilaženje primene univerzalnih pravila WTO (Svetske trgovinske organizacije) koja su najvećim delom otvorila vrata globalizacije. Rekombinuje se NAFTA – ugovor koji treba da kompaktira Severnu Ameriku (Amerika, Kanada, Meksiko). Izboren je TPP (Amerika i Daleki Istok, Pacifik) – direktno usmeren na zatvaranje prostora za Kinu. TTIP (Amerika i Evropska unija) ima za cilj stvaranje evropskog regionalnog tržišta “protiv trećih lica”. Dakle, Amerika je zajednički imenitelj i pravi svoju protivtežu procesu trgovinske ekspanzije koji joj izmiče iz ruku.

14Nije potrebno da čovek završi Oksford (gde se kažu insistira na razvijanju sposobnosti zapažanja) pa da vidi kako je Svetska trgovinska organizacija pala u duboku senku. Sve one čuvene runde GATT-a i WTO koje su nakon beskrajnih cenjkanja[1] ipak urodile sve slobodnijom i intenzivnijom svetskom trgovinom, potiskuju se novim pravilima. Kina je u WTO primljena 2001. godine. Direktan TV prenos njenog prijema praćen je u Kini skoro kao kasnije Olimpijske igre. Računalo se naivno da Kina ne predstavlja trgovinsku opasnost. Rusija je, međutim, smatrana opasnom, pa je morala 18 godina da čeka i preuređuje svoje propise kako bi postala članica tek 2012. godine. Najkraće je čekala Albanija. Njen je pristupni adut bio: Mi nemamo od čega da se branimo, niti čime da ugrožavamo – napišite nam pravila ponašanja i mi ćemo potpisati. I bi tako. Pregovori su počeli 1998. a u članstvo je primljena 2000. godine. Srbija je, u doba dok se pod Miloševićem zvala Srbija i Crna Gora, izbačena iz te organizacije[2] i danas spada u 13 zemalja koje nisu članice, zajedno sa Etiopijom, BiH, Sirijom, Libijom i sličnima. Taktika naše strane je da se napori usmere na ulazak u EU, pa će time i članstvo u WTO biti lakše rešeno.

15Postoje jake tendencije da se dokaže kako je globalizacija donela više lošeg nego dobra. Lari Samers (Larry Summers), Klintonov ministar finansija i danas profesor na Harvardu, govoreći o “vekovnoj stagnaciji”, založio se za “racionalni nacionalizam” i optužio globalizaciju: “Imamo dokaza da je globalizacija povećala nejednakosti u SAD pogodujući bogatima, te da je radnike izložila beskrupuloznoj konkurenciji”. Pa na toj ne naročito preciznoj tezi nastavlja i zaključuje: “Povećana mobilnost kapitala i kompanija ne bi smela da uskrati Sjedinjenim Državama mogućnost da zaštite svoje građane”. To zove: “Odgovorni nacionalizam”. Otvoreniji poziv na protekcionizam moguće je čuti jedino od Donalda Trampa.

Klub značajnih američkih ekonomista renegata globalizacije neočekivano se širi. Pol Krugman, umerenije konstatuje da razmena među narodima ima nesumnjive prednosti, no da pravila piše politika, te je tako usmerila fiskalne sisteme u korist velikog kapitala i multinacionalnih kompanija. “Zbivanja na tržištu rada pod presijom globalizovane konkurencije su teško ugrozila zaposlene” (u razvijenim zemljama – to se valjda podrazumeva). Tu je i večiti Džefri Saks (Jefrey Sachs), danas profesor na Columbia University, sa tvrdnjom: “I ja sam verovao u međunarodne investicione zahvate, propagirao globalizaciju, ali smatram da bi je trebalo podvesti kontroli…” MMF, koji bi možda mogao imati kontrolnu ulogu, bez sumnje atakuje na globalizaciju multiplikujući studije o “iščašenju” međunarodne trgovine, produbljivanju jaza između bogatih i siromašnih, o haosu na tržištu rada, uvek ubrajajući globalizaciju među osnovne krivce. Nedavno je MMF preporučio državama članicama kontrolu kretanja kapitala u velikoj meri kontradiktornu sa merama koje je predlagao pre dve i po decenije. Bogate države su se uplašile globalizacije, bogate korporacije ne – one se goje na višku rada siromašnih.

00

Sklonost objašnjavanja ekonomskih tokova fizičkim zakonima popularna je naučna zabava stručnjaka, pa su tako Arto Anila (Annila) sa univerziteta u Helsinkiju i Stenli Salt (Stanley Salthe) iz Njujorka Drugim zakonom termodinamike objašnjavali ekonomske uspone i padove kapitalizma. Aktuelne rasprave o globalizaciji podvode se pod Njutnov Treći zakon – akcija i reakcija. Naime, reagujući na pripremanje terena za intenzivno političko-medijsko osporavanje globalizacije, popularni Tomas Piketi (Thomas Piketty) razjašnjava da se Brexit može dovesti u vezu sa globalizacijom samo kao odjek na najezdu imigranata. U intervjuu (La Repubblica, 2. jul) on nedvosmisleno kaže: “Sve jasnija je neophodnost regulisanja kapitalizma /…/ ksenofobni populistički lideri imaju ulogu da ubede mase kako njihovi neprijatelji nisu beli milijarderi nego globalizacija i obojena sirotinja koja nadire”. U često citiranoj knjizi Global Inequality (Globalna nejednakost) Branko Milanović piše: “Globalizacija je donela mnoge koristi, velika većina onih koji su te koristi videli su sa dna globalne raspodele dohotka – oni koji su efikasno uzdignuti iz najtežeg azijskog siromaštva – ali i najveći svetski bogataši”. Nobelovac Angus Deton, jasnoćom matematičara objašnjava da visoka nejednakost usporava svetski ekonomski rast i redukuje svojstvo globalizacije kao faktora napretka. Tokom zahuktale globalizacije do 2011. godine donja granica siromaštva je povećana od 1 na 1,90 dolara na dan po stanovniku, pa iako je gotovo udvostručeno merilo najbednijih njhov broj je od 1,8 milijardi pao na 887 miliona u svetu. Od 2002. do 2014. obim svetske trgovačke razmene je utrostručen. Napredak Kine, Indije, Brazila, Malezije je toliko očigledan da ga nema potrebe brojčano dokazivati.

07Poslužimo se još jednim fizičkim zakonom – spojenih sudova. Ne biva da neko nešto dobija, a da drugi ne gubi. Političko-ekonomski sofizam izražava se pitanjem: da li se proces ujednačavanja globalizacijom postiže padom nivoa bogatih ili usponom siromašnih? Nema sumnje da je globalizacija značajno podigla nivo siromašnih, manje razvijenih zemalja, da bi istovremeno uticala na pad dobrobiti srednjeg sloja u razvijenom, bogatijem svetu. Pritom su zakonitosti kapitalizma svoj gubitak prevalili na industriju, zaposlene, srednju klasu, a ne na vlasnike kapitala. Štaviše, njima je i u toj situaciji išlo od ruke pa levo orijentisani protivnici globalizacije u razvijenom svetu argumentuju o socijalnom raslojavanju: 85 najbogatiji ljudi na svetu raspolaže bogatstvom ravnim imovini 3,5 milijardi najsiromašnijih. Desni protivnici koriste isti podatak da bi zahtevali protekcionističku zaštitu nacionalnih interesa. Finansijalizacija ekonomije zaustavila je “socijalni lift” koji je podizao u vis sve nove i nove nadolazeće generacije razvijenog sveta. I jedni i drugi su skloni uništavanju prednosti za sirotinju da bi kaznili bogate. Čudna logika.

Sa siromašnima je situacija jednostavnija. Rušenjem carinskih i drugih barijera razvijeni i bogati su dobili lakši pristup na ogromna tržišta Kine, Indije, čitave Afrike… ali su morali da otvore svoja bogata tržišta za robu iz manje razvijenog sveta. Tokom pregovora razvijeni su opstruisali dostup poljoprivrednih proizvoda iz manje razvijenog sveta, računajući da će udar sa te strane biti najjači, međutim, Kina, u prvom redu, razvila je sopstvenu industriju frapantnom brzinom i preplavila razvijeni svet svojom industrijskom robom nedostižno konkurentskih cena. Da bi finansirao ekonomski rast je morao uzimati kredite od bogatih, pa tako deo njihovog neto uspona, preko kamata, odlazi investitorima – dakle finansijskim moćnicima razvijenog sveta. Time su bogati dobili izvanredan novi dotok kapitala.

01

Interesantna je situacija sa NAFTA (North American Free Trade Agreement – Severnoamerički ugovor o slobodnoj trgovini) potpisanim 1994. godine i slavljenim kao put ka novim stotinama hiljada visoko plaćenih radnih mesta u SAD. Računica se zasnivala na pretpostavci da će Amerika, delom od Kanade i naročito od Meksika, napraviti inferiorno tržište za svoje proizvode. Desilo se međutim da je Meksiko, baš kao i Kina, jeftinom radnom snagom, privukao masu fabrika i kapitala iz SAD, što je navelo njene jastrebove da zahtevaju poništenje tog ugovora, a što je Tramp uneo u svoj predsednički projekat. Tramp, dakle nije neobuzdano lupetalo, nego eksponent određenih interesa. Rekonstrukcija ugovora, koja je u toku, za publiku ima marketinšku priču o dogovaranju zajedničkog prelaska na obnovljive izvore energije, a u senci su žestoke bitke oko obuzdavanja konkurencije iz Meksika i vraćanja profita na američke investicije nazad, umesto da se reinvestiraju u Meksiku.

Odvojimo li probleme globalizacije od političkih oblandi sučelićemo se sa činjenicom da su duga ekonomska kriza, intenzivna migraciona pomeranja masa izazvana ponajviše ratovima, ogromna socijalna raslojavanja i finansijske turbulencije ugrozili osnove sistema, pa je za to trebalo naći žrtvenog jarca (u ovom području insceniranje puča nije moguće) – a globalizacija je idealna za takvu ulogu. S jedne strane populistički je najlakše natentati mase protiv jadnijih od sebe, s druge pažnja i odijum se usmeravaju dalje od pravih modifikatora sistema u pravcu bezočnog bogaćenja na račun drugih. Nelson Mandela je rekao: “Globalizacija je kao godišnje doba – dolazi ne vodeći računa o našem mišljenju /…/ ona je dobra za nas u to nema sumnje /…/ međutim bogati i moćni su njome stekli još jedno oruđe kako da uvećaju svoju moć i bogatstvo na račun siromašnih i slabih, zato smo dužni da ih sprečimo u ime univerzalne slobode. Ne znam za sažetiju ocenu globalizacije i njenih dobrih i loših strana.

Globalizacija je verovatno počela u antičko doba kada su prvi feničanski trgovački brodovi isplovili iz Mediterana u Atlantik tražeći nove “pijace”, preuzeli su je Kolumbo i istraživači novih svetova,[3] kolonijalisti. Marks se rado pominje kao praanalitičar moderne globalizacije, a on je 1848. godine konstatovao da je kapitalizam racionalan sistem koji ima tendenciju da maksimalizuje višak vrednosti, poveća produktivnost rada i profit. Dokle god ti interesi budu postojali postojaće i tendencija da se bilo gde na Zemlji, a možda jednom i van nje, potraže uslovi koji optimalizuju zahteve. Najveća prepreka tom procesu su granice država kojima se ponovo preti.

19Američki Nacionalni obaveštajni savet (National Inteligence Council) svoj Projekat globalne budućnosti do 2020. godine počinje šeretlukom atomskog fizičara  koji galasi: “Predviđanja su teška, naročito ako je reč o budućnosti”. Na retoričko pitanje: “Šta bi moglo da zaustavi globalizaciju?”, odgovori u Projektu su obimni, ali bi se dali sažeti. Prvo, mogućnost globalnog konflikta (svetski rat); drugo, pandemija neke nove i nepoznate bolesti; treće, teroristički napadi velikih razmera sa stotinama hiljada mrtvih; četvrto, teška ekonomska kriza koja bi pogodila Kinu, Indiju i Brazil, odnosno zemlje u naglom usponu i koju razvijene zemlje ne bi bile u stanju da izoluju u lokalne okvire. Postoji još serija negativnih elemenata koji bi mogli da otežavaju globalizaciju, ali sa malom verovatnoćom da je zaustave. To je izolacionizam krajnje nerazvijenih zemalja (Subsaharska Afrika, Bliski Istok, Centralna Azija, Južna Amerika), korumpirani i autoritarni režimi, organizovani kriminal, terorizam i zarazne bolesti. Brexit istina tada nije bio aktuelan ali teško da bi bio uvršten čak i u manje važne prepreke globalizacije.

Previranja su velika – neka se nameću oružjem, neka ugovorima. Biti mali u takvom svetu nije uopšte prijatno. Valja se opredeliti. Mogućnosti opredeljenja prikazao je plastično i drastično Duško Petričić.

Globalizaciju niko više neće biti u stanju da zaustavi mirnim putem. Isuviše se zahuktala i pokazala da je nerazvijenima bolje čak i ako ih eksploatišu, ali im daju mogućnosti napretka, nego ako ih drže izolovanim i svedenim samo na njihova siromašna tržišta. Da li je ovaj zaključak optimistički ili pesimistički vidi se donekle iz prve prepreke globalizaciji prema autorima američkog Projekta do 2020. godine – najefikasniji način zaustavljanja globalizacije je “mogućnost globalnog konflikta”. Taj opaki scenario ipak je moguće izbeći ako bude sluha za Piketijevu sugestiju da se pristupi “regulisanju kapitalizma”.

Milutin Mitrović, Peščanik.net, 20.07.2016.

1. Runde pregovora u GATT-u (Generalni sporazum o trgovini i carinama) trajale su godinama. Urugvajska runda je završena tek nakon 7 godina.

2. Prva runda WTO u Dohi započela je 2001. godine na temu globalnog razvoja – dakle označila je formalni početak globalizacije. Smatra se završenom avgusta 2013. godine dogovorom ministara.

3. Jugoslavija je bila članica GATT (prethodnica WTO) kao posmatrač od 1950, a redovan član od 1966. godine. Iz organizacije je suspendovana 1992. godine prilikom raspada zemlje, ali su sve ostale republike sem Srbije i BiH primljene ponovo (Makedonija poslednja 2003). Od 2013. godine pregovori sa Srbijom o povratku su u zastoju.
Od XV do XVIII veka 78 odsto svih otkrića inicirano je trgovačkim razlozima.