Tag Archives: Alžir

Fibonačijevi magični brojevi

10

Leonardo Bigollo (Leonardo Pisano ili de Piza; Leonardo Pizanski, Leonardo od Pize) bio je matematičar koji je živeo u Italiji na prelazu između 12. i 13. stoleća (1170-1240), ličnost koja je prva okrenula leđa sistemu rimskih brojeva koji su u njegovo vreme prevladavali. Leonardo je u istoriji bio poznat po nadimku Fibonacci, što je derivat dve reči (fillius + bonnacci, što na latinskom i italijanskom u miksu dobija značenje “sin dobronamernog”. Očigledno da je Leonardov otac Guljelmo (Guglielmo) bio poznat kao dobra osoba i znameniti trgovac koji je često putovao po Severnoj Africi. Tamo je, tokom svojih putovanja s ocem, njegov sin Leonardo i otkrio magiju arapskih brojeva i matematike.

24Hindu-arapski sistem brojanja prešao je iz Indije u Persiju a potom na Bliski Istok i u Severnu Afriku, odakle je „doskočio“ i na evropsko tle, pre svega zahvaljujući između ostalih i Fibonačiju. Pizanova ideja korišćenja arapskih brojeva sadržavala je mogućnost rada sa celim brojevima ili razlomcima, deljenje brojeva na proste činioce, kvadratni koren, itd. Uprkos brojnim prednostima i velikoj praktičnosti, usvojiti ovaj sistem nije bilo lako. Krstaški ratovi protiv islama koji su se u to vreme odigravali stavljali su pod sumnju što je bilo označeno kao “arapsko”. Arapski brojevi su 1299. u Firenci čak bili i zabranjeni, uz obrazloženje da ih je „lakše falsifikovati nego rimske brojeve”.

Zahvaljujući očevom poslu, Leonardu Fibonačiju je pružena prilika da se susreće s velikim matematičarima koji su se nalazili izvan tzv. „istočnog kruga“ (Egipat, Sirija, Alžir, Grčka, itd), i s kojima je njegov otac svakodnevno dolazio u kontakt tokom dugih putovanja kroz arapske zemlje i Mediteran. Kasnije se vratio u Italiju, a kada mu je bilo 32 godine objavio je knjigu Liber Abaci (1202), u kojoj je objasnio značaj arapskog sistema numerisanja i njihovu primenu na najrazličitije svakodnevne situacije tokom trgovine i trgovačkog računanja. Ovim je, zapravo, želeo da dokaže da bi Evropljanima bilo nepojamno praktičnije ukoliko bi počeli da se koriste arapskim a ne rimskim numeričkim sistemom: Arapski sistem bio je nenadmašan u radu sa stranim valutama, vođenju trgovačkih knjiga (tj današnjem računovodstvu), pri merenju i pretvaranju težinskih mera, itd. Četvrt veka kasnije (1227), objavio je drugo izdanje iste knjige koja je danas postala referentna verzija “Liber abaćija” jer ručno pisane kopije prvog izdanja iz 1202. ne postoje (naslov znači “Knjiga računanja”, mada je neki pogrešno prevode kao “Knjiga abakusa”; “abaci” ili “abacci” je talijanska reč za arapsku računaljku koja je u to vreme bila pojam za računske operacije. Danas postoji samo II izdanje iz 1227. dok su primerci prvog izdanja u celosti izgubljeni).

22

Federiko Drugi Hohenštaufenski (Federico II de Hohenstaufen, 1194-1250) bio je Sveti rimski car u trenutku kada je doznao za Fibonačijev rad, sve to zahvaljujući korespondenciji koju je po svom povratku u Italiju ovaj matematičar održavao s nekim od članova carevog Suda. Među njima je bio i Majkl Skot (Michael Scotus), astrolog kojem se Pizano divio i kome je posvetio drugo izdanje svoje i danas poznate knjige. Johan Palermski (Johnanes of Palermo) je pred tim Sudom postavio Fibonačiju jedan matematički problem koji će mu zauvek urezati mesto u istoriji.

Čovek stavi dva zeca u prostor okružen zidom sa svih strana. Koliko je parova zečeva moguće proizvesti iz ovog para za godinu dana, ako svakog meseca svaki par novih zečeva na svet donese još jedan par, koji se može reprodukovati svakog drugog meseca?

Fibonači je prihvatio izazov; rešio je taj problem, a rešenje objavio u radu pod nazivom “Flos” (1225). Tom prilikom razvio je numerički niz koji će u istoriji biti usvojen kao Fibonačijev niz. Ovaj niz brojeva počinje sa 0 i 1, a odatle je svaki element – ili Fibonačijev broj – zbir prethodna dva.

30

Fibonačijev niz predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule, a prva dva člana su mu 0 i 1.

To jest, nakon dve početne vrednosti, svaki sledeći broj je zbir dvaju prethodnih. Prvi Fibonačijevi brojevi takođe su označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , pa su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

01Fibonačijevi brojevi, a u stvari celokupan matematički princip – u zapadnoj matematici predstavljeni kao konstanta fi (∅), i to po čuvenom vajaru Fidiji koji se u izgradnji grčkog Panteona i skulptura ovog hrama koje su se u koristio proporcijom 1 : 1.6. Dakle, konstanta „fi“ nije dobila svoj naziv po Fibonačiju. Uz to, treba reći i da je dokazano kako je ova konstanta bila daleko ranije opisana, i to u Indiji.

I tako je Leonardo uspešno predstavio reproduktivni ciklus kod zečeva, iako je to veštački model u slučaju ovih životinja (a biološki gledano, to i nije sasvim tačno), savršeno se po tome uklapajući sa reproduktivnim modelom pčela. U košnici, samo je kraljica ta koja ima moć reprodukcije: Ona je jedina koja polaže jaja.31

Ako su oplođene, rađaju se ženke, sa 50% genetskog materijala kojeg pruža majka („Kraljica“), i sa drugih 50% koji potiču s očeve strane. Trutovi ili muške pčele nastaju od neoplođenih jaja. Zbog toga,ženske pčele radilice imaju dva roditelja, dok trutovi imati jednog: 100% njihove genetske informacije obezbeđuje majka.

001Pčele nisu jedini izuzetak, a ovi brojevi, kao matematički princip, stoje iza mnogovrsnih fenomena prirode: Fibonačijev niz nalazi se u rasporedu cvetnih latica, u nastanku uragana itd.

Fibonačijev niz se često nazivaju i “Božanskom razmerom”. Uzmemo li jedan deo Fibonačijevog niza (2, 3, 5, 8), i podelimo li svaki sledeći broj s njemu prethodnim, dobićemo uvek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približavaju broju fi.

Sledi nekoliko primera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

U pčelinjoj zajednici, košnici, uvek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvek bi dobili broj fi.

14

Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bismo izračunali odnos svakog spiralnog segmenta i njegovih razmera u odnosu prema narednom segmentu, dobili bismo broj fi.

Seme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promera rotacije je broj fi.

Izmerimo li čovečju dužinu od vrha glave do poda, a zatim to podelimo s dužinom od pupka do poda – dobijamo broj fi.

Kako je to moguće? Jesu li ovi slučajevi plod „abrakadabra“ kombinacije u matematici? Misterija koja leži iza ovog niza brojeva kojem je, izgleda, predodređeno da bude upisan u matematičke osnove svega što nas okružuje (ili barem u mnogim stvarima koje postoje oko nas) uvek nanovo fasciniraju stručnjake iz raznih oblasti nauke, a tu su čak i publikacije specijalizovane za pronalaženje novih oblasti i problema povezanih sa ovim nizom i konstantom fi.

Čak i nekoliko vekova kasnije, Johan Kepler (1571-1630) je bio trajno fasciniran istraživanjima ovog niza da bi, stolećima kasnije, razvio koncept koji je u istoriju matematike ušao kao “Božanska konstanta”, zapisana u njegovoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” (1611).

23Ali koliko “magije” ima u čuvenom Fibonačijevom nizu? U kom trenutku je Pizanac ovaj princip opisao kao svoju „ekskluzivu“, kao i proporcije među brojevima koje ih dovode u međusobni odnos? Istorija je ostavila tragove o prethodnim referencama koje se odnose na njegovu kasniju formulu, kao što je slučaj s nekolikim indijskim matematičarima: Gopalom (1135) i Hemačandrom (1150), koji su ovaj „Božanski odnos“ već pominjali u svojim spisima – i to nekoliko decenija pre nego što je Fibonači bio rođen.

Kepler je otkrio ovaj redosled koristeći se odnosom koji već postoji među postojećim uzastopnim članovima niza. Dva je prema broju 3 je ono što je 3 za 5, a petica za osmicu, i tako dalje sa svim elementima. Prema tome, postoji udeo-odnos-proporcija (Božanska konstanta: proporcija koja je zdušno korišćena u renesansnoj umetnosti kao „Zlatni presek“); ovaj niz se stalno održava tokom deljenja brojeva: bitno je da je proporcija izražena konstantom „fi“ ista u svakom slučaju, bez obzira da li je zdanje građeno po principima Zlatnog preseka gigantska ili je minijaturnih razmera. Ova proporcija je predstavljena brojem fi (u čast grčkog vajara Fidije, da ponovimo – a ne Fibonačija!):  φ = 1.618.

16Zlatni presek se javlja kao proporcija rastućih oblika u prirodi i vekovima je privlačio pažnju matematičara i umetnika. Odnos Zlatnog preseka se dobija ako se jedna duž podeli na takav način da je odnos većeg dela prema celom isti kao i odnos manjeg dela prema većem: 0.6180339887…

Neprekidnu podelu zlatnog preseka zapažamo u samoj prirodi na mnoštvu biljaka, koliko u opštem sklopu toliko i u njihovim delovima, cvetovima, listovima (npr ljutić, rastavić, itd) a u zapanjujućem savršenstvu u ljušturama morskih puževa kao što je npr Nautilus). Zlatni presek se jasno manifestuje u sklopu ljudskog tela. Proporcionisanje čovečje figure sastoji se u što tačnijoj konstrukciji Zlatnog preseka u neprekidnom odmeravanju minora na majoru, kao i u primeni ovako dobijenih mera na odgovarajuće delove i dimenzije tela.

Danas je opšte prihvaćeno mišljenje da je grčki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepšu proporciju za najprikladnije oblike arhitekture. Proporcija Zlatnog preseka je traženi zakon lepote koji se nalazi u skladnosti i srazmernosti između pojedinih delova kao i delova u celini. Kroz istoriju je pravougaonik čiji je odnos među susednim stranicama u odnosu Φ=1.618033988749895… smatran najprijatnijim za oči. Grčki vajar Fidija izgradio je Partenon i mnoge figure na njemu u proporciji Zlatnog preseka.

Zlatni presek primenjen je na najlepšim grčkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima.

21Platon je pisao “da se dve stvari na lep način sjedine bez nečeg trećeg. Između njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se može najbolje izvršiti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja onaj srednji odnosi prema najmanjem kao najveći prema srednjem i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najvećem, onda će poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nužno isto, a budući da je isto čini jedno jedino.”

Opis pristaje, kao što se uočava, pojmu zlatnog preseka. Zlatni presek, kao proporcijski ili sistem srazmera, korišćen je u praksi i na istoku i na zapadu, nekada tačno a ponekad s izvesnim odstupanjem. Keopsova piramida, gotske katedrale i mnoge druge poznate građevine sadrže u sebi proporciju Zlatnog preseka.

I ovde se priča o Fibonačiju završava – da bi se opet, u beskrajnom nizu, potvrđivala i trajala kao Zakon Prirode.

28U svojoj knjizi “Strena Seu de Nive Sexangula” („O šestougaonoj pahulji“, 1611.) Kepler je definisao značaj ove proporcije i niza koji se, prema njegovim rečima, na sličan način razvija u reproduktivnom procesu i koji se može uspešno održavati. Ideja Keplera o biološkom auto-replikativnom (tj. samoobnavljajućem, ili samooplođujućem) procesu koji se odvija po Fibonačijevom nizu je do ne tako davno ignorisan od strane biologa, kada je raspored listova filotaksisa (Phyllotaxis) na stablu i naučno učvrstio ovu teoriju. .

Međutim, kako god da je došlo do ovog naučnog uvida, njegovo otkriće numeričkog niza – kojim je uzdigao ideju o Božanskim proporcijama – bila je više nego dovoljna za Fibonačijevu besmrtnost u „reci vremena“, baš kao i u sećanju njegovih kolega matematičara. U Pizi je u 19. veku podignuta statua u njegovu čast, a može se danas posetiti na Gradskom groblju, na Trgu čuda (Piazza dei Miracoli). Ne postoji mnogo informacija o poznom dobu njegovog života, iako je dekretom Pizanske republike 1240. Leonardu odobrena doživotna plata, u znak priznanja stečenog na funkciji gradskog savetnika za računovodstvo i finansije.

BBVA OpenMind

 

U borbi za Afriku Kina pobedila Zapad

U poslednjih 15 godina Kina jača svoj uticaj na Crnom kontinentu. Peking je danas najveći trgovinski partner Afrike, a direktne kineske investicije i kreditiranje u afričke zemlje rapidno rastu. Korist je obostrana — Kinezima su važni afrički resursi, a kineske investicije su dovele do ekonomskog rasta i smanjenja siromaštva na najgladnijem kontinentu.

Interesovanje Pekinga za Afriku objašnjava se sve većim geopolitičkim i geoekonomskim značajem ovog regiona u svetu. Afrika je dugo smatrana „beznadežnim kontinentom“, ali je gotovo neopaženo postala „kontinent budućnosti“, koji beleži ubrzani ekonomski i društveni rast, navode eksperti. Kao i krajem 19. veka, velike sile i danas vode bitku za „crnu Afriku“ — Amerika, Kina, Indija i posustale evropske države bore se za resurse. Afrika ima ogromnu teritoriju, oko milijardu stanovnika i ogromna prirodna bogatstva, koja prema različitim procenama čine 30-40 odsto svetskih rezervi sirovina — nafte, dijamanata, zlata i drugih ruda. Za poslednjih 30 godina, prema podacima Uprave za energetske informacije SAD, dokazane rezerve nafte u Africi uvećale su se za 120 odsto, sa 57 milijardi barela 1980. godine na 124 milijarde barela, 2012. A prema procenama kompanije KPMG, na obalama kontinenta ima još najmanje sto milijardi barela, koji „čekaju da budu otkriveni“.

Takođe, značajno su porasle i dokazane rezerve prirodnog gasa — sa 210 triliona kubnih stopa 1980. godine na 509 triliona 2012, odnosno za više od 140 odsto. Zahvaljujući intenzivnim potragama te brojke se stalno povećavaju. Recimo, nedavno je u Mozambiku pronađeno 127 triliona kubnih stopa gasa, a dodatne nedokazane rezerve procenjuju se na još 152 triliona.

Peking je „u borbu“ za Afriku ušao 2000. godine i vrlo brzo je pretekao Zapad i postao najvažniji trgovinski partner Afrikanaca. Još 2009. godine Kina je prestigla SAD, a već 2013. afričko-kineska trgovinska razmena premašila je 210 milijardi dolara, a Kinezi su ostavila Amerikance daleko iza sebe. Sa Zapada se čuju optužbe da je posredi „novi tip kolonijalizma“, ali većina Afrikanaca smatra da je partnerstvo sa Kinom dobrodošlo i da pogoduje razvoju kontinenta.

Brojke pokazuju da je 2013. godine uvoz sirove nafte iz Afrike pokrio 23 odsto potreba Kine. Pritom, nafta čini 64 odsto od ukupnog uvoza Kine iz afričkih zemalja. Takođe, Afrika obezbeđuje šest odsto kineskog uvoza rude gvožđa (uglavnom iz Južne Afrike) i 8,3 odsto uvoza bakra (uglavnom iz Zambije). Formula afričko-kineske saradnje definiše se kao „pomoć u zamenu za resurse“. Direktne investicije Kine u afričke zemlje uvećale su se sa 500 miliona dolara 2003. godine na skoro 15 milijardi dolara 2012. Neki procenjuju da ukupan obim kineskih ulaganja u ekonomije afričkih zemalja sada iznosi od 40 do 45 milijardi dolara, od kojih su skoro 15 milijardi direktne investicije. Kinezi ulažu u infrastrukturu, industriju, transport, energetiku, poljoprivredu i građevinu, u pedesetak afričkih zemalja. U Africi posluje preko 2.000 kineskih kompanija, a u poslednjih desetak godina tamo se preselilo i oko milion kineskih biznismena i radnika.

Eksperti ocenjuju da Kina, podstaknuta „glađu“ za sirovinama i masovnim tržištima, nastupa odlučno. Na kontinentu se grade luke, saobraćajnice, železničke pruge, aerodromi, brane, električne centrale, naftovodi, tržni centri… Uz upravljanje kineskih stručnjaka pojavile su se plantaže pamuka, otvaraju se fabrike i puštaju u rad hidrocentrale…

Jedan od većih projekata je izgradnja železničke pruge na istoku kontinenta, koja će povezivati više istočnoafričkih zemalja. Posebnu pažnju zaslužuju napori Kine u eksploataciji uranijuma na Crnom kontinentu. Dugogodišnji lideri tržišta uranijuma su Kanada, Kazahstan i Australija. Peking sa nekim od njih trguje, ali sada sve više računa na nove snabdevače uranijuma — Namibiju, Južnoafričku Republiku i Niger. Nalazište Hisab u Namibiji, čiji je godišnji kapacitet 5.700 tona, pretvorio je zemlju u jedan od najvećih izvoznika uranijuma u svetu. Ako se posmatra učešće Kine u afričkoj privredi, može se zaključiti da Kinezi imaju ogromne građevinske i infrastrukturne projekte u regionu. Tu recimo spada izgradnja velike džamije u Alžiru, koju gradi Kineska državna građevinsko-inženjerska korporacija CSCEC, a čija se vrednost procenjuje na 1,3 milijarde. Džamija će moći da primi 120.000 ljudi. U Gani je, na primer, kompanija „Sinohydro“ izgradila hidroelektranu, čija je vrednost 700 miliona dolara. To je samo deo velikog kineskog projekta izgradnje hidroelektrana u mnogim afričkim zemljama. Takođe, u Gvineji je sagrađen kongresni centar, vrednosti od 800 miliona dolara. Za 3,5 milijarde dolara Kinezi su u Angoli izgradili novi grad Kilambu, predviđen za 500.000 ljudi, a u Keniji su za 300 miliona dolara napravili najveći put u Istočnoj Africi, koji spaja Najrobi sa gradom Thika. Osim toga, Kinezi grade i stadione i sportske centre u mnogim afričkim državama.

Ovo je samo delić projekata koji Kinezi realizuju u Africi.

Kineski predsednik Xi Jingping je još u decembru prošle godine govorio o planovima da uključi Afriku u projekat morskog „Puta svile“. Tada je Kina obećala Afrikancima 60 milijardi dolara investicija i kredita. Deo te sume otići će na projekte u okviru „Puta svile“. „Novi put svile“ spajaće Aziju, Evropu i Afriku, a glavni cilj tog projekta je povezivanje ljudi i jačanje kapitala, investicija, saradnje u trgovini i razvijanje infrastrukture.

Osim toga, kineski zvaničnici su više puta isticali da taj kontinent ostaje jedan od prioriteta njihove politike. Afrika je već puna kineskih prodavnica i kineske robe, ali Kina računa na dalje širenje tržišta. Saradnja, međutim, nije uvek pogodna za Afrikance — kineski radnici im zauzimaju radna mesta, a u Južnoafričkoj Republici je, recimo, kineski tekstil potisnuo domaću proizvodnju. Ali Kinezi mudro rade — oni grade puteve, infrastrukturu, nude kredite, daju pomoć.

Cilj — rast uticaja i ekonomska korist. Alarmantna nestašica vode u svetu Osim toga, Kina je afričkim liderima ponudila alternativu i tako im omogućila da ignorišu mnoge zapadne zahteve. Kinezi daju novac i ne vezuju ga za politička uslovljavanja. Kineska roba široke potrošnje po svojim karakteristikama (niska cena, jednostavnost upotrebe i sl.) savršeno odgovara afričkim kupcima. Kinezi na ovom tržištu dominiraju i zato što se proizvođači iz drugih zemalja plaše mnogih rizika koji vrebaju u ovom regionu. To olakšava razumevanje sa afričkim liderima, kao i činjenica da Peking nema običaj da se meša u unutrašnju politiku afričkih zemalja. Takođe, Kina za razliku od zapadnih država ne kritikuje lokalne vlasti za narušavanje ljudskih prava.

To što su Kinezi uspostavili dobre odnose sa afričkim vlastima jako nervira Zapad. Još 2012. godine Hilari Klinton je tokom svoje afričke turneje kritikovala zemlje koje „daju Africi novac, ne mareći za to što on ide u ruke autoritarnih vlada“. Ona nije direktno „prozvala“ Kinu, ali je bilo više nego jasno na koga je mislila.

Olivera Ikodinović, Sputnik News